在 OpticStusio 的序列和非序列模式中，我們可以使用各式的工具進行自由曲面的光學(xué)設(shè)計。本文中，我們提供了一個以切比雪夫多項式表面（Chebyshev Polynomial surface）設(shè)計出離軸拋物面的示例，且此系統(tǒng)是在系列模式中進行設(shè)計的。另外，在 OpticStudio 的序列模式中有超過20種自由曲面供選擇，本文將提到鏡頭數(shù)據(jù)編輯器（Lens Data Editor）中一些好用的篩選功能，可以協(xié)助設(shè)計者根據(jù)不同的應(yīng)用決定適合的自由曲面。

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簡介

相較于傳統(tǒng)的球形光學(xué)原件，自由曲面是一種復(fù)雜、且擁有更大設(shè)計自由度的表面。雖然在制程上較為困難，但自由曲面的使用可以大幅地減少系統(tǒng)的體積。自由曲面可被應(yīng)用在各式不同的領(lǐng)域，天線、激光光束整形器（laser beam shaper）和哈伯太空望遠鏡等的設(shè)計中，早已可見自由曲面的蹤跡1。
OpticStudio 提供了許多好用的功能，供使用者在序列和非序列模式中進行自由曲面的設(shè)計。這篇文章，我們會在序列模式中以切比雪夫多項式表面設(shè)計出離軸拋物面。同時，我們還會討論如何快速地針對不同系統(tǒng)找出適合的自由曲面種類。

切比雪夫多項式表面(Chebyshev Polynomial surface)

在眾多OpticStudio的自由曲面選擇中，唯獨此表面是由切比雪夫多項式（Chebyshev Polynomial）所定義的。這種類型的多項式的項次在歸一化方形孔徑上彼此正交，代表構(gòu)成表面幾何形狀的系數(shù)呈線性獨立。如此一來，當我們對表面的幾何關(guān)系進行優(yōu)化時，將不再受到局部最小值（local minima）的限制。與非球面的系統(tǒng)相比，自由曲面的設(shè)計過程可因此而變得更直觀。此外，切比雪夫多項式是由卡氏坐標推導(dǎo)出的，而多數(shù)的多項式自由曲面則用于描述旋轉(zhuǎn)對稱的系統(tǒng)。如此的特性使我們可以在非旋轉(zhuǎn)對稱或非橢圓孔徑的系統(tǒng)中對表面進行定義。

第一類的切比雪夫多項式如下：

前十個切比雪夫多項式參數(shù)如下：

T0 (x) = 1
T1 (x) = x
T2 (x) = 2x2 - 1
T3 (x) = 4x3 - 3x
T4 (x) = 8x4 - 8x2 + 1
T5 (x) = 16x5- 20x3 + 5x
T6 (x) = 32x6 - 48x4 + 18x2 - 1
T7 (x) = 64x7 - 112x5 + 56x3 - 7x
T8 (x) = 128x8 - 256x6 + 160x4 - 32x2 + 1
T9 (x) = 256x9 - 576x7 + 432x5 - 120x3 + 9x
T10 (x) = 512x10 - 1280x8 + 1120x6 - 400x4 + 50x2 - 1
我們可以使用下方的tij（x，y）關(guān)系，將上式簡化為二維切比雪夫多項式：

將切比雪夫多項式的有限項次進行加總，產(chǎn)生如下的自由曲面矢高公式：

這里的aij代表多項式總和的系數(shù)；x和y則是歸一化表面的坐標；N和M則是多項式在x和y方向上的最大項次；c則代表基本球體的曲率半徑，球體位于多項式的最上方。
由于多項式的最大階數(shù)僅受到運算速度的限制，因此就一般的情況而言，10階的多項式就已經(jīng)能充分的描述大部分的表面了。

使用切比雪夫多項式表面設(shè)計離軸拋物線

我們使用切比雪夫多項式產(chǎn)生離軸的拋物面作為一個簡單的示例。系統(tǒng)的規(guī)格如下方的圖1。

圖1:系統(tǒng)的實體模型，包含了一個由切比雪夫多項式表面所產(chǎn)生的離軸拋物面。

表面2上的coordinate break將表面在y方向上平移了60毫米。表面3則包含了切比雪夫多項式表面。因為我們想要產(chǎn)生一個500毫米長的焦距，因此設(shè)定該表面的厚度為500毫米。而材質(zhì)的部分則設(shè)為”Mirror”，以產(chǎn)生一個反射表面。

圖2:在鏡頭數(shù)據(jù)編輯器中，切比雪夫多項式表面位于編號第三的字段

下方圖3顯示了表面3的表面屬性。切比雪夫多項式表面的孔徑設(shè)為50 x 50，并有-60毫米的偏心。在系統(tǒng)選項（System explorer）中，我們設(shè)定入瞳直徑為71毫米以容納個方形面鏡。

圖3:表面3的屬性視窗，定義了面鏡的方形和偏心孔徑。

對于切比雪夫多項式表面而言，C（2,0）這一項的系數(shù)與多項式T2（x）?T0（y）（即2x2–1）有關(guān)，而C（0,2）則會受到多項式T0（x）?T2（y）（即2y2–1）的影響。假如C（2,0）和C（0,2）的值是相等的，則會產(chǎn)生出一個旋轉(zhuǎn)對稱的拋物線。要注意的是在鏡頭數(shù)據(jù)編輯器中，切比雪夫多項式表面的基本球體曲率半徑被設(shè)為零（如圖2），如此一來C（2,0）和C（0,2）即可完整地表示表面的曲率半徑。
在本示例中，切比雪夫多項式表面的最大項次為2，如圖4所示。我們可以同時由圖4得知歸一化的x和y長度。在編輯器中，這兩項均被設(shè)為85毫米，與偏心長度和面鏡的半寬總和，或是參考拋物線的曲率半徑（radius）相同。

圖4: x和y的歸一化長度設(shè)為85毫米，而x和y的最大項次為2。

為了產(chǎn)生拋物線，C（2,0）和C（0,2）表面被設(shè)為變數(shù)，如圖5所示。而在這兩個字段中，我們先輸入一個猜測值（-0.0001）。接著我們可以先觀察實體模型（shaded model，圖6），此時的結(jié)果并不正確，無法將入射光匯聚到指定的像面上。

圖5:使用切比雪夫多項式表面產(chǎn)生拋物面，我們需要設(shè)定C（2,0）和C（0,2）的系數(shù)。假如這兩項數(shù)值是相等的，則產(chǎn)生的結(jié)果將會是一條旋轉(zhuǎn)對稱的拋物線

圖6:實體模型的結(jié)果顯示切比雪夫多項式的系數(shù)是有偏差的，導(dǎo)致光線無法順利匯聚到指定像面上

當我們正確的設(shè)定方形面鏡的系統(tǒng)孔徑后，接著就可以使用預(yù)設(shè)優(yōu)化函數(shù)進行優(yōu)化了。假如拋物線在y方向上的定義十分明確，則主光線必定會落在像面上y=0的位置，此時操作數(shù)REAY便可幫助我們快速的達成目標。優(yōu)化函數(shù)的設(shè)定和結(jié)果如圖7和圖8所示。
優(yōu)化完成后，預(yù)期的拋物線如圖9和圖10所示。C（2,0）和C（0,2）的正確系數(shù)為-2.5e-4。標準點列圖（spot diagram）顯示了預(yù)期的理想結(jié)果。

圖7:預(yù)設(shè)優(yōu)化函數(shù)的設(shè)定

圖8:優(yōu)化函數(shù)編輯器中的前幾行

圖9:優(yōu)化功能協(xié)助我們找到切比雪夫多項式表面的C（2,0）和C（0,2）項系數(shù)。

圖10: 3D視圖和點列圖顯示產(chǎn)生的離軸拋物線結(jié)果，光線如預(yù)期的匯聚于像面上。

選擇自由曲面

鏡頭數(shù)據(jù)編輯器中的表面分類可以幫助使用者快速找到適合的表面。在OpticStudio中，我們可以在表面類型的下拉菜單中找到所有可用的自由曲面，數(shù)據(jù)庫中有超過20種表面供選擇。假如傳統(tǒng)的Q型非球面（Q-Type）或偶次非球面較符合需求，我們也可以在”常規(guī)面”的菜單中找到這些常見的表面。

圖11:我們可以依照系統(tǒng)需求在鏡頭數(shù)據(jù)編輯器中找到適合的表面分類。

自由曲面數(shù)據(jù)庫中包含了由多項式定義的一般表面和繞射表面，以及由數(shù)個控制點（control point）定義的表面。

多項式自由曲面

雙錐Zernike（Biconic Zernike）
切比雪夫多項式（Chebyshev Polynomial）
圓柱菲涅爾（Cylinder Fresnel）
擴展菲涅爾（Extended Fresnel）
通用菲涅爾（Generalized Fresnel）
奇次非球面和擴展奇次非球面（Odd Asphere和Extended Odd Asphere）
多項式和擴展多項式（Polynomial和Extended Polynomial）
超圓錐面（Superconic）
Zernike Annular Standard sag
Zernike Fringe sag
Zernike Standard sag

繞射自由曲面

橢圓光柵1和2（Elliptical Grating 1和Elliptical Grating 2）
Toroidal光柵and擴展Toroidal光柵（Toroidal Grating和Extended Toroidal Grating）

Freeform Fits to Control Points

三次樣條和擴展三次樣條（Cubic Spline and Extended Cubic Spline）
網(wǎng)格漸變（Grid Gradient）
網(wǎng)格矢高（Grid Sag）
徑向NURBS（Radial NURBS）
Toroidal NURBS

參考文獻

1. M. Tricard and D. Bajuk, "Practical Examples of FreeForm Optics," in Renewable Energy and the Environment, OSA Technical Digest (online) (Optical Society of America, 2013), paper FT3B.2.