這篇文章旨在介紹楊氏雙縫干涉實驗背后的理論知識，并在OpticStudio中用幾何光線追跡模擬該實驗，最后比較理論和模擬的結(jié)果。

簡介

楊氏雙縫干涉實驗是物理學(xué)中最著名的實驗之一。這個實驗通過展示光從點光源到干涉圖樣的變化，揭示了光的波動特性。楊氏實驗的結(jié)果可以定性地解釋為條紋圖，也可以定量地解釋為相干因子（作為為光源寬度的函數(shù)）。兩種理論都會在本文中詳細分析。
本文將討論雙縫實驗背后的理論，并在OpticStudio的非序列模式下對該實驗進行精確建模。

楊氏雙縫干涉實驗

楊氏雙縫干涉衍射實驗是描述空間相干性在干涉條紋形成中所起到的作用的經(jīng)典裝置?？傮w布局如下圖所示：

在觀察面上形成的條紋圖案取決于照亮縫隙面的光的空間相干性、雙縫之間分隔的距離以及從縫隙面到觀察面上的傳播距離。雖然將嚴謹?shù)慕y(tǒng)計數(shù)學(xué)應(yīng)用到這個問題上看似艱巨，但一旦認識到觀察到的干涉圖樣只是來自不同點光源的基礎(chǔ)條紋的總和 [Ref. 1, Section 5.2.1] ，擴展光源形成的條紋圖樣實際上是相當(dāng)明確的。這里我們考慮光源非相干的情況，即光源上的任意兩點以一種不相干的方式隨機輻射，比如熱白熾燈就是非相干光源。
在OpticStudio的非序列模式中，使用幾何光線追跡和表面散射及散射光線的 “重點采樣(Importance Sampling) ”，就可以很好地模擬這種裝置。在觀測面上的基礎(chǔ)條紋圖案是由擴展光源上的每個點形成的，而在OpticStudio中，這種條紋圖案是通過使用矩形探測器對光線進行相干探測來發(fā)現(xiàn)的。對基礎(chǔ)條紋圖案的集合（從整個光源的采樣點得到）按強度進行求和，得到合成的條紋圖。合成條紋圖案的對比度，來自對位于縫隙處光的部分相干性的測量。在解釋模擬細節(jié)之前，我們首先簡要回顧楊氏實驗的基本光學(xué)物理理論。理論分析的結(jié)果將用于與光束追跡的結(jié)果進行比較。
為簡單起見，我們假設(shè)孔隙沿著x軸，對稱于原點且處于相隔距離Δp的位置上。觀測平面內(nèi)形成的時間平均強度為：

其中I1和I2是在孔隙處的光強度，μ12是在孔隙處評估的所謂 “復(fù)雜相干因子”，φ12 = arg{μ12} [Ref. 1, Eq. 5.2-36]。條紋對比度可見性為：

條紋對比度可見性是由孔隙處光強度和相干系數(shù)的模決定的。|μ12| 的值在 0 和 1 之間，它僅僅是兩個孔隙的光場在時間平均基礎(chǔ)上的關(guān)聯(lián)程度。對于I1 = I2 的情況，我們可以看到 V = |μ12| 。
照射孔隙的光的相干因子 μ12 是由光源大小、光源的空間相干函數(shù)和光源到孔隙平面的傳播距離組成的函數(shù)。除了假設(shè)光源是完全非相干的（有 δ 函數(shù)的空間相干性)，我們也將光源限制為準單色，也就是說光有足夠的窄的帶寬，使得跨光線的波前波陣面遇到的任何相對路徑長度差異均，比時間相干長度c/Δν更短，這樣便只用考慮空間相干效應(yīng)。當(dāng)光束遠離光源傳播時，它獲得了空間相干性，這意味著相干函數(shù)的寬度開始變寬 [Ref. 2]。通過引用范西泰特-塞尼克定理 (van Cittert-Zernike theorem) ，我們知道孔隙平面上的相干函數(shù)是由光源強度分布圖的縮放傅里葉變換給出的，其中縮放因子取決于波長和傳播距離z1 。
光源常被假定為均勻強度的圓形光源，這時孔隙平面上的相干函數(shù)采用Sjinc函數(shù)的形式。為簡單起見，我們假設(shè)沿 Xx 軸有一個均勻的一維線光源，以原點為中心，寬度為 w 的一半。在這種情況下孔隙平面上的相干函數(shù)為：

對于孔隙分隔 Δx = Δp 時，相干因子為：

對于小的孔隙分隔距離來說，從兩個孔隙發(fā)出的光場會高度相關(guān) (μ12 ~ 1)，在觀察面有望觀察到具有高對比度的條紋圖案。相反，隨著孔隙分隔距離的增加，光場變得不那么相關(guān)，條紋能見度降低。相干系數(shù)以類似的方式關(guān)聯(lián)于光源寬度2w。比如對于λ = 1.0 μm，z1 = 10 mm，和孔隙分隔Δp = 100 μm來說的相干因子是如下圖的關(guān)于光源寬度的函數(shù)：

OpticStudio模擬的細節(jié)將在下面的章節(jié)中進行概述，并將結(jié)果與上圖中的曲線進行比較。

用點光源模擬楊氏雙縫實驗

第一步是為單點光源創(chuàng)建一個基本的條紋圖案。關(guān)鍵是要非常有效地利用光線，不追跡那些不會對干涉過程產(chǎn)生影響的光線，從而形成高保真的條紋圖案。這是通過一個簡單的非序列設(shè)置完成的，如下圖所示。兩個孔隙由半徑為5 μm分隔100 μm的圓盤所表示（圓盤中心沿x軸位移+/- 50 μm）。從光源源平面到孔隙平面的距離和從孔隙平面到觀測平面的距離都是10 mm。波長取1 μm。

對應(yīng)的非序列元件編輯器如下圖所示：

光源是單個沿Y軸偏振的光線，但這條光線通過設(shè)置分析光線的數(shù)量為100萬被重復(fù)追跡。在傳播了一段短距離（在這里取10 um）后，光源光線遇到了一個標準面。這個表面的目的是將入射的軸上光線轉(zhuǎn)換成兩束散射光線，射向兩個孔隙。首先設(shè)置如下圖所示的散射參數(shù)，散射模型的選擇并不是特別重要，因為只要散射光線的分布足夠大，就足以填滿孔隙所覆蓋的立體角。

接下來，這兩束散射光通過如下圖所示的 重點采樣 (Importance Sampling) 對準這兩個孔隙。尺寸 (Size) 參數(shù)被設(shè)置為比孔隙的半徑略小，這個參數(shù)決定了重要采樣所使用的目標球體的半徑，以確保所有的光線都能穿過孔隙。

當(dāng)光線射線到達孔隙，再次使用 散射(Scattering)和重點采樣(Importance Sampling)(見下文)。這一次，每一束射入孔隙的光線被轉(zhuǎn)換成五束散射光線，而重點采樣將這些光線定向到觀測平面上一個半徑為400 μm的圓形區(qū)域。

雖然重點采樣在追跡特定光線時是有效的，但這些光線被加權(quán)，仿佛它們是更寬的立體角光線的一個子集。對于高斯散射，整體立體角是由Sigma參數(shù)決定的；而對于朗伯散射，立體角是2π，所以單根光線的強度會變得很低。為了確保光線允許被追跡，相對光強閾值應(yīng)該被降低，實際上可以在系統(tǒng)選項的非序列部分中設(shè)置為最小值：

我們現(xiàn)在可以使用以下設(shè)置追跡系統(tǒng)光線，請注意打開光線分裂和散射特性等設(shè)置：

由此產(chǎn)生的條紋圖案是由觀察相干強度分布發(fā)現(xiàn)，如下所示：

請注意，總命中次數(shù)非常接近1000萬，這與100萬束初始光線在第一次散射表面數(shù)量翻倍，然后通過孔隙散射增加了5倍的過程一致。這個數(shù)量的光線可以產(chǎn)生高對比度的基礎(chǔ)條紋圖案。

用非相干線光源模擬實驗

為了模擬非相干線光源，我們對點光源沿 X 軸進行離散掃描，并按順序計算相應(yīng)的基礎(chǔ)條紋圖。基礎(chǔ)條紋基本上都是相同的，除了其取決于點光源位置的相位偏移之外。將這些基礎(chǔ)條紋在強度上相加，得到整個光源的合成條紋圖案。在這里，我們使用了5 μm的采樣周期。使用 DDE 連接將編寫好的Matlab腳本連接至到OpticStudio可在循環(huán)中生成基礎(chǔ)條紋。在每個循環(huán)迭代中，系統(tǒng)會設(shè)置點光源位置，進行光線追跡，并使用SaveDetector命令將矩形探測器的相干數(shù)據(jù)寫入文件。然后讀取文件，提取復(fù)振幅圖像，并根據(jù)振幅的平方計算圖像強度?；A(chǔ)條紋的累積和被保留了下來，因此在循環(huán)的最后，可以得到最終的條紋強度圖。

用不同寬度的擴展光源進行條紋模擬

下面顯示了，從 10 μm 到 350 μm 寬度的光源模擬的合成條紋圖。對比度從檢測器的中心區(qū)域計算，每個光源寬度的值在相應(yīng)圖像的標題中報告。值得注意的是，當(dāng)光源從 50 μm 增加到 150 μm，然后再從150 μm 增加到250 μm 時條紋會有相位反轉(zhuǎn)。

模擬結(jié)果和理論的對比

現(xiàn)在，我們可以將模擬條紋對比度（采用適當(dāng)?shù)姆栠x擇來表示相干因子）覆蓋在本文開頭的理論曲線上。理論和模擬結(jié)果是一致的。

我們的結(jié)論是，光線追跡追蹤已經(jīng)被可用來模擬從兩個小孔隙發(fā)出的光的干涉現(xiàn)象，。并且從每個孔隙發(fā)射的光線的角分布由散射模型確定。在現(xiàn)實中，光會發(fā)生衍射，所以在觀測平面上最終被探測到的是兩束衍射光束的重疊 [Ref. 1, Section 5.2.5]。然而，這種細節(jié)在這里被忽略了。