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在波前計算中 OpticStudio如何進行采樣

問題： 在波前圖及其他相關(guān)分析中，采樣網(wǎng)格的中心點在哪里？

要討論這個問題，請打開示例文件 “Cooke 40 degree field.ZMX”。該文件保存在< Data >\Samples\Sequential\Objectives\目錄下。

首先我們觀察波前圖，波前數(shù)據(jù)是很多其它OpticStudio分析功能的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，例如PSF，MTF和圈入能量（Encircled Energy）。打開波前圖（分析選項卡->像質(zhì)分析->波前圖）并如下圖設(shè)置參數(shù)：

在進行數(shù)值計算時，我們想要保持光瞳的對稱性，并且保持主光線的位置處于光束中間位置的一個實際的點。同樣，我們也需要為FFT算法確定一個中心點。為了實現(xiàn)這些需求，我們需要定義出瞳空間（按不同定義方式稱為近場或空間域）中的光瞳中心，即（n/2+1,n/2+1）。因此，當仔細觀察波前圖你會發(fā)現(xiàn)最左側(cè)一列的數(shù)據(jù)全部為零。在本例中的實際中心位置為（17,17）。

現(xiàn)在我們來看PSF分析。PSF是波前平方經(jīng)過快速傅里葉變換后得到的結(jié)果。將FFT PSF參數(shù)設(shè)置如下：

我們可以看到PSF是以位于（n/2,n/2）的像素為中心的，也就是坐標為（16,16）的像素。這和FFT的計算方式以及OpticStudio中方向的定義有關(guān)。當網(wǎng)格的中心點在某個域（例如空間域）的坐標為n/2+1時，在另一個域中（例如頻域）的中心點坐標則為n/2。仔細觀察下圖你會發(fā)現(xiàn)最左一列和最下一行的數(shù)據(jù)為空白。

在MTF計算中，MTF為波前的自相關(guān)函數(shù)，并且通常來講其像素數(shù)量為波前圖的兩倍（不考慮坐標軸變化）。因此為了MTF，OpticStudio首先會用數(shù)據(jù)0將32x32個數(shù)據(jù)點補充為64x64個數(shù)據(jù)點，然后再進行自相關(guān)計算。對于三維FFT MTF（Surface FFT MTF），OpticStudio會對波前的FFT平方，然后再對其進行FFT計算，換句話說MTF是PSF的傅里葉變換。將三維FFT MTF參數(shù)設(shè)置如下：

我們得到如下結(jié)果：

可以看到峰值點在坐標（32,32）處，或者為（n/2,n/2）。

OpticStudio通過自相關(guān)函數(shù)的邊界1/(lambda*F/#)來確定三維FFT MTF的頻率間隔，其中l(wèi)ambda為系統(tǒng)中最短的波長（如果我們計算的是多波長結(jié)果）。OpticStudio通過實際計算所有波長的截止頻率和F數(shù)的乘積，并依據(jù)他們中最大的結(jié)果來縮放整個圖表。其他波長的數(shù)據(jù)則會在光瞳空間中縮放，來使所有的PSF以同樣的間距進行采樣。將截止頻率翻倍可以得到光學傳遞函數(shù)（OTF）的寬度（如上圖為850.06 cycles/mm），然后將這一結(jié)果除以2*n（MTF計算時補零后的像素數(shù)量）得到采樣點的間距。

舉例來講，OTF的寬度為850.06 cycles/mm，采樣點為32x32個。因此點間距為850.06/64 = 13.282 cycles/mm。三維FFT MTF圖表的中心點位于坐標(n/2,n/2)=(32,32)處，在圖表中對應(yīng)頻率為0的點。換言之，第32列像素對應(yīng)X軸空間頻率為0 cycles/mm的點。第33列對應(yīng)空間頻率為13.282 cycles/mm，34列對應(yīng)空間頻率為26.564 cycles/mm，之后以此類推。最后一列即第64列對應(yīng)空間頻率為32*13.282 = 425.03 cycles/mm。第一列對應(yīng)空間頻率為-31*13.282 = -411.748 cycles/mm。

和PSF一樣，三維FFT MTF圖表的最左一列和最下一行為空白數(shù)據(jù)。因此，頻率坐標軸左右兩側(cè)的數(shù)據(jù)并不是嚴格對稱的（上下兩側(cè)也是如此）。但需要記住的是，每個數(shù)據(jù)是沿頻率坐標系的“中心”對稱的。如果在左或右（上或下）邊緣考慮“半格像素”，則整個寬度確實為850.06 cycles/mm。有限大小的像素，其邊緣覆蓋了整個寬度，但每個像素（每列或每行）的中心坐標從兩側(cè)分別插入了半個像素的寬度。