概要

這篇文章講述了：

1.什么是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)？

2.點(diǎn)列圖

3.快速傅里葉變換計(jì)算的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（FFT PSF）

4.惠更斯算法計(jì)算的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（Huygens PSF）

5.如何使用非序列模式下的透鏡和探測(cè)器觀察惠更斯積分

6.對(duì)于序列模式下的透鏡組，分析點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)時(shí)如何在惠更斯和快速傅里葉變換計(jì)算兩者間進(jìn)行選擇

本文使用的附件請(qǐng)?jiān)谝韵骆溄酉螺d：

什么是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（PSF）？

PSF是一個(gè)物空間的點(diǎn)光源經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)后的輻射照度分布。望遠(yuǎn)鏡對(duì)遙遠(yuǎn)行星成像就是一個(gè)很好的PSF例子：由于行星距離我們非常遠(yuǎn)以至于我們?cè)谌魏螚l件下都可以把它當(dāng)做一個(gè)點(diǎn)。雖然發(fā)光光源是一個(gè)理想的點(diǎn)，但是像點(diǎn)并不是一個(gè)點(diǎn)。這是因?yàn)閮蓚€(gè)主要原因：首先，光學(xué)系統(tǒng)的像差會(huì)影響像點(diǎn)，使其在有限的區(qū)域內(nèi)擴(kuò)散；其次，即使光學(xué)系統(tǒng)沒(méi)有像差，衍射效應(yīng)同樣會(huì)使像點(diǎn)發(fā)生擴(kuò)散。

Zemax OpticStudio內(nèi)置了三種計(jì)算PSF的方法：幾何（無(wú)衍射效應(yīng)）點(diǎn)列圖、基于衍射效應(yīng)的快速傅里葉變換（FFT）PSF和惠更斯（Huygens）PSF。這篇文章將討論每種算法的理論基礎(chǔ)，并給出了一些使用建議。

點(diǎn)列圖：幾何PSF

點(diǎn)列圖是Zemax OpticStudio中最基礎(chǔ)的分析功能之一。該功能會(huì)加載多條從物空間點(diǎn)光源發(fā)出的光線，并對(duì)所有光線穿過(guò)光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行追跡，然后將以圖表的形式顯示光線相對(duì)于特定參考點(diǎn)的坐標(biāo)圖。

本文中使用的示例系統(tǒng)是一個(gè)焦距為50mm、F數(shù)為5的拋物面反射鏡。物體放置于無(wú)窮遠(yuǎn)處。這是一個(gè)簡(jiǎn)單的牛頓望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)，示例文件名為PSF_Newtonian.ZMX。光學(xué)系統(tǒng)如下所示：

兩個(gè)視場(chǎng)下的點(diǎn)列圖如下所示，其中一個(gè)視場(chǎng)為軸上視場(chǎng)，另一個(gè)為2°的離軸視場(chǎng)：

如圖可見(jiàn)，點(diǎn)列圖是一堆點(diǎn)的集合，其中每一個(gè)點(diǎn)代表一根光線。每根光線間沒(méi)有任何相互作用。點(diǎn)列圖非常高效的展示了望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的幾何效應(yīng)或光線像差。其中，離軸幾何PSF圖像（2°視場(chǎng)下點(diǎn)列圖）非常形象的展示了系統(tǒng)的慧差和像散。然而對(duì)于軸上視場(chǎng)，點(diǎn)列圖給出了完美像點(diǎn)的分析結(jié)果。這是光學(xué)系統(tǒng)成像的正確結(jié)果嗎？為了回答這一問(wèn)題，我們需要將點(diǎn)列圖的結(jié)果即點(diǎn)的分布，與衍射極限相比較。

將艾里斑（Airy Disk）的參考橢圓添加到點(diǎn)列圖中是一個(gè)快速比對(duì)幾何像差和衍射效應(yīng)的方法。打開(kāi)點(diǎn)列圖的設(shè)置列表，并勾選顯示艾里斑：

現(xiàn)在，點(diǎn)列圖將在幾何點(diǎn)分布上的相應(yīng)位置處，顯示出艾里斑的直徑：

在軸上視場(chǎng)上點(diǎn)的分布遠(yuǎn)小于艾里斑，而在離軸視場(chǎng)上點(diǎn)的分布則遠(yuǎn)大于艾里斑。這表明點(diǎn)列圖只能有效合理的展示離軸視場(chǎng)的成像結(jié)果。想要同時(shí)計(jì)算軸上和離軸視場(chǎng)正確的PSF，則需要考慮衍射效應(yīng)帶來(lái)的影響。

通常來(lái)說(shuō)，當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)的像差影響相比衍射效應(yīng)大很多時(shí)，點(diǎn)列圖是評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量非常有效的方法。

FFT PST

快速傅里葉變換（FFT）算法廣泛應(yīng)用于許多光電系統(tǒng)的頻率分析中。從概念上講，F(xiàn)FT將一個(gè)空間上的分布分解為頻域上的分布。對(duì)于傅里葉光學(xué)的詳細(xì)講解請(qǐng)參考書(shū)籍《Introduction to Fourier optics》，在用戶手冊(cè)的“物理光學(xué)傳播（Physical Optics Propagation）”一章中也有對(duì)衍射理論的總結(jié)。兩份資料都介紹了菲涅爾和夫瑯禾費(fèi)衍射理論。

大多數(shù)光學(xué)系統(tǒng)都滿足基于夫瑯禾費(fèi)衍射理論的FFT PSF算法所必須的簡(jiǎn)化假設(shè)。其主要假設(shè)有：

1.F數(shù)足夠大使得標(biāo)量衍射理論成立

2.衍射PSF能量顯著區(qū)域遠(yuǎn)小于光學(xué)系統(tǒng)出瞳到像面的距離

3.出瞳相對(duì)入瞳沒(méi)有明顯畸變。這表示入瞳上均勻分布的光線在出瞳上也應(yīng)是合理的均勻分布

4.高采樣率以滿足準(zhǔn)確模擬PSF的要求

5.像面上的主光線和法線夾角很小

光學(xué)系統(tǒng)的FFT PSF是通過(guò)如下方法計(jì)算所得：一組呈網(wǎng)格狀分布的光線從點(diǎn)光源發(fā)出射向系統(tǒng)出瞳。OpticStudio會(huì)使用幅值和光程差計(jì)算每一根光線出瞳處波前網(wǎng)格上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的復(fù)振幅。經(jīng)過(guò)適當(dāng)縮放后該網(wǎng)格的快速傅里葉變換經(jīng)過(guò)平方得到PSF的實(shí)部值。如果計(jì)算是多波長(zhǎng)的，則PSF將進(jìn)行累加。想要計(jì)算序列模式系統(tǒng)的FFT PST，請(qǐng)?jiān)赯emax OpticStudio的主菜單中選擇分析選項(xiàng)卡（Analysis）>點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（PSF）> FFT PSF。示例文件牛頓望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的軸上視場(chǎng)的FFT PSF，如下圖所示，其分析設(shè)置參數(shù)稍后我們會(huì)做討論。

注意圖中相似的艾里斑波形。牛頓望遠(yuǎn)系統(tǒng)的軸上視場(chǎng)像差為零，如上圖所示這也是符合預(yù)期的結(jié)果。

為了生成如上圖所示的圖像，F(xiàn)FT PST的設(shè)置菜單應(yīng)該如下圖所示：

這里的采樣是指對(duì)射向系統(tǒng)入瞳處的網(wǎng)格分布光線的采樣率。Zemax OpticStudio會(huì)自動(dòng)設(shè)置顯示網(wǎng)格的尺寸比采樣網(wǎng)格大一倍，并將超出入瞳區(qū)域的數(shù)據(jù)用零代替。因此PSF的分析結(jié)果顯示的點(diǎn)要比網(wǎng)格采樣點(diǎn)多4倍。如果系統(tǒng)像差很小，則我們感興趣的區(qū)域?qū)⒓性趫D表的中心。為了減少顯示這些近似等于零的數(shù)據(jù)，我們選擇顯示網(wǎng)格為較小的尺寸。

在分析參數(shù)設(shè)置中可以使用多種網(wǎng)格尺寸來(lái)顯示同樣的PSF數(shù)據(jù)，可以設(shè)置如下圖所示參數(shù)：

顯示網(wǎng)格的尺寸為128x128，視場(chǎng)編號(hào)為2，類(lèi)型為對(duì)數(shù)，顯示為偽彩色圖。其分析結(jié)果如下圖所示：

惠更斯PSF

從概念上講，惠更斯PSF通過(guò)將點(diǎn)列圖上每一根光線轉(zhuǎn)換為一個(gè)小的平面波。回想一下，光線可以模擬一個(gè)小區(qū)域的平面波，因此光線在各向同性介質(zhì)中與波前垂直。由光線模擬的平面波擁有振幅、相位和傳播方向這三個(gè)參數(shù)。因此像面上的總輻照度分布可以考慮為所有追跡光線所代表的平面波的相干疊加。對(duì)所有光線的積分可以直接得到衍射PSF。

Zemax OpticStudio中大多數(shù)衍射效應(yīng)是基于標(biāo)量衍射理論的（F數(shù)不會(huì)很?。?，但惠更斯算法在“使用偏振（Use Polarization）”開(kāi)啟時(shí)可以考慮電場(chǎng)的矢量特性。所有基于惠更斯算法的分析都全面考慮了偏振向量和偏振相位引入的像差。這一算法通過(guò)分別計(jì)算偏振電場(chǎng)的Ex,Ey,Ez分量，然后進(jìn)行非相干疊加。和計(jì)算其他相位差一樣，惠更斯算法會(huì)計(jì)算電場(chǎng)中每一個(gè)正交分量引入的偏振相位差。

實(shí)際上所有光學(xué)系統(tǒng)都滿足進(jìn)行惠更斯PSF計(jì)算的前提假設(shè)：

采樣率足夠高以準(zhǔn)確模擬PSF

惠更斯PSF不是基于FFT進(jìn)行計(jì)算的。雖然計(jì)算速度方面惠更斯PSF通常要比FFT PSF慢，但是在不滿足FFT PSF前提假設(shè)的情況下惠更斯PSF要更加準(zhǔn)確。使用FFT PSF假設(shè)有問(wèn)題從而需要使用惠更斯PSF的情況有：

1.像面與主光線的垂直面存在明顯傾斜

2.出瞳相對(duì)于入瞳存在明顯的畸變

光學(xué)系統(tǒng)的惠更斯PSF的計(jì)算如下。從點(diǎn)光源出發(fā)追跡網(wǎng)格分布的光線并傳播到像面。使用光線的振幅、坐標(biāo)、方向余弦和光程差，計(jì)算每根光線在像空間網(wǎng)格上每點(diǎn)處的平面波的復(fù)振幅。將像空間每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上所有光線的復(fù)振幅相干疊加。則像空間每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的強(qiáng)度為疊加復(fù)振幅的平方。如果計(jì)算中考慮多個(gè)波長(zhǎng)，則對(duì)不同波長(zhǎng)的PSF結(jié)果進(jìn)行非相干疊加。

如果您想要計(jì)算序列模式下系統(tǒng)的惠更斯PSF，在Zemax OpticStudio主菜單中選擇分析選項(xiàng)卡（Analysis）> PSF > 惠更斯PSF（Huygens PSF）?；莞筆SF同樣可以計(jì)算非序列元件（NSC）系統(tǒng)，我們將在后文中詳細(xì)介紹。需要注意的是FFT PSF不能應(yīng)用于非序列系統(tǒng)。

由用戶定義的惠更斯PSF的關(guān)鍵設(shè)置參數(shù)是光瞳采樣、像面采樣和像面采樣間距。這些參數(shù)可以在惠更斯PSF分析參數(shù)設(shè)置表中輸入。打開(kāi)參數(shù)設(shè)置表并如下圖輸入?yún)?shù)：

像面采樣間距為像面上每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)之間的距離，其單位為毫米。計(jì)算PSF的總體區(qū)域的尺寸是像面采樣和像面采樣間距之積。

如下圖所示為示例牛頓望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)軸上視場(chǎng)的惠更斯PSF：

離軸視場(chǎng)如下圖所示（將視場(chǎng)編號(hào)改為2）：

光線數(shù)量和像點(diǎn)越多，PSF的分辨率和計(jì)算精度越高。但這會(huì)帶來(lái)計(jì)算時(shí)間的增加。

觀察惠更斯積分

觀察積分過(guò)程的一種方法是一次觀察一根光線的相干疊加結(jié)果。這可以通過(guò)在Zemax rOpticStudio的非序列元件功能中設(shè)置相干探測(cè)器來(lái)完成。示例文件為HPSF_Integration.ZMX。

該示例文件包括一個(gè)橢圓光源、一個(gè)單透鏡和一個(gè)矩形探測(cè)器物體。光源在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生多條隨機(jī)光線。所有光線沿Z軸平行出射。光源模擬一束準(zhǔn)直光或無(wú)窮遠(yuǎn)的點(diǎn)光源。光線輸出條數(shù)設(shè)為20，分析光線的條數(shù)設(shè)為1。這將使系統(tǒng)在同一時(shí)刻只分析一條光線，我們會(huì)在后文中詳細(xì)討論。透鏡為一個(gè)簡(jiǎn)單的單透鏡，它用來(lái)將平行光很好的聚焦在探測(cè)器上。探測(cè)器屬性設(shè)置為吸收，像素?cái)?shù)量為120x120。

需要注意的是，探測(cè)器的第11個(gè)參數(shù)“PSF波長(zhǎng)模式（PSF Wave#）”設(shè)為1。

這一設(shè)置可以讓探測(cè)器計(jì)算相干惠更斯PSF的積分。每一根射到探測(cè)器上的光線都被轉(zhuǎn)換為局部平面波，該平面波照射探測(cè)器上的所有像素。隨后平面波在每一像素上的相干振幅，疊加到已探測(cè)的相干振幅上。這允許我們可根據(jù)需求每次只追跡一條光線，所以我們可以看到每一根單獨(dú)光線的疊加效果。

每次積分一根光線

接下來(lái)讓我們通過(guò)示例觀察這一積分過(guò)程，打開(kāi)示例文件HPSF_Integration，選擇分析選項(xiàng)卡（Analysis）- 光線追跡（Trace Rays）- 光線追跡控制（Ray Trace Control）。選中自動(dòng)更新（Auto Update）。點(diǎn)擊“追跡（Trace）”。由于光源只定義了一根分析光線，因此一根隨機(jī)的光線被追擊并且探測(cè)器更新當(dāng)前結(jié)果。再次點(diǎn)擊“追跡”，但注意不先點(diǎn)擊“清空探測(cè)器（Clear Detectors）”來(lái)追擊第二根光線。此時(shí)兩根光線的追跡結(jié)果將顯示出兩個(gè)傳播方向有一定夾角的平面波的干涉結(jié)果，探測(cè)器將顯示條紋圖案。由于光線的選取是隨機(jī)的，因此條紋圖案每次也不相同，因此探測(cè)器結(jié)果可能與下圖并不完全相同。

每次點(diǎn)擊“追跡”后，另一根光線的結(jié)果將與現(xiàn)在的結(jié)果疊加。經(jīng)過(guò)10根光線追跡后，衍射PSF初步呈現(xiàn)出來(lái)。

大約40根光線追跡后，可以看到艾里環(huán)逐漸形成。

追跡數(shù)百根光線才可以使PSF顯示出合理的分布結(jié)果。

同時(shí)追跡多跟光線

一次只追跡一條光線是為了將積分的過(guò)程可視化。要同時(shí)追跡多條光線，可在非序列元件編輯器當(dāng)中的分析光線條數(shù)一欄中，將要分析的光源光線條數(shù)從1改為500。

點(diǎn)擊分析 >光線追跡開(kāi)啟光線追跡控件，點(diǎn)擊“清除并追跡”，將同時(shí)對(duì)500條光線進(jìn)行追跡，PSF結(jié)果將被展示在探測(cè)器查看器窗口中。

盡管追跡的光線是隨機(jī)選擇的，但PSF仍收斂為正確的艾里斑（該透鏡系統(tǒng)為衍射極限系統(tǒng)）。

如何選擇使用
點(diǎn)列圖、FFTPST、惠更斯PSF

在下面的情況中使用點(diǎn)列圖：

與衍射效應(yīng)相比，系統(tǒng)幾何像差對(duì)于成像質(zhì)量的影響更加顯著。這一點(diǎn)可以通過(guò)在點(diǎn)列圖的設(shè)置中勾選“顯示艾里斑”來(lái)進(jìn)行檢查。

在以下情況中選擇使用FFT PSF:

像面上主光線與像面法線有一定的夾角與入瞳相比，出瞳的畸變并不顯著相對(duì)于無(wú)比精確的結(jié)果，更加關(guān)注計(jì)算速度

在下面的情形中使用惠更斯PSF:

想最大程度獲得精確結(jié)果

總結(jié)

本文圍繞點(diǎn)列圖，F(xiàn)FT PSF以及惠更斯PSF進(jìn)行了討論。結(jié)論為：

1.點(diǎn)列圖展示了光線像差，但并未考慮衍射效應(yīng)

2.FFT PSF雖然考慮了衍射并適用于大多數(shù)的光學(xué)系統(tǒng)，但基于的算法有一定的前提假設(shè)

3.惠更斯PSF考慮了衍射，并適用于幾乎所有的光學(xué)系統(tǒng)，相比與FFT PSF使用了較少的前提假設(shè)

4.惠更斯PSF可用于非序列系統(tǒng)，盡管這些系統(tǒng)并非用于成像。