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概述

漸進(jìn)透鏡是自由曲面設(shè)計(jì)中一個(gè)常見話題。為了實(shí)現(xiàn)增加光焦度或者控制像差等目的，自由曲面的形狀可以是任意的，而不是簡單地由圓錐系數(shù)或者偶次非球面系數(shù)這樣的參數(shù)方程定義。

自由曲面的分析和優(yōu)化方法與普通透鏡有所不同，本文以一個(gè)漸進(jìn)透鏡為例,介紹這些優(yōu)化分析方法。

引言

漸進(jìn)透鏡 (Progressive addition lenses , PALs) 不同部分的光焦度平滑地變化。例如，低頭視物時(shí)用到的部分光焦度會(huì)比遠(yuǎn)眺時(shí)用到的部分光焦度大一些，這樣無論佩戴者是開車還是讀書，都可以戴著它。

漸進(jìn)透鏡的設(shè)計(jì)是自由曲面設(shè)計(jì)中一個(gè)常見話題。為了所需的光學(xué)性能，自由曲面形狀可以是任意的，而不是簡單地由圓錐系數(shù)或者偶次非球面系數(shù)這樣的參數(shù)方程定義。一個(gè)自由曲面能在其上任意位置增加光焦度，以滿足像差校正的需求。

也正是因此，我們需要區(qū)別于傳統(tǒng)透鏡的分析和優(yōu)化工具。舉例來說，光程差圖 (OPD) 和光扇圖 (Ray Fans) 就不太適用于光焦度可以隨意變化的情況。這篇文章以一個(gè)非常簡單的漸進(jìn)透鏡為例，介紹了如何建立、分析和優(yōu)化自由曲面系統(tǒng)。

表面類型

理想的自由曲面應(yīng)該由一系列點(diǎn)數(shù)據(jù)構(gòu)成，然而要優(yōu)化這個(gè)面時(shí)，需要用某種方式給這個(gè)面一個(gè)小的擾動(dòng)，以此來判斷該繼續(xù)增加還是減小這個(gè)擾動(dòng)，使光學(xué)系統(tǒng)能更符合我們的預(yù)期。因此，純數(shù)據(jù)構(gòu)成的表面類型（如網(wǎng)格矢高或CAD物體）可能很適合分析光學(xué)系統(tǒng)的表現(xiàn)，但在設(shè)計(jì)的初期我們想要用優(yōu)化器連續(xù)改變曲面時(shí)，它們并不可取。

在設(shè)計(jì)初期推薦使用的表面類型有：

1、三次樣條和擴(kuò)展三次樣條

2、徑向NURBS和Toroidal NURBS

3、多項(xiàng)式和拓展多項(xiàng)式

4、Zernike Standard 矢高

樣條和NURBS表面類型直接提取矢高數(shù)據(jù)的定義參數(shù)，用參數(shù)擬合多個(gè)低階多項(xiàng)式，來產(chǎn)生一個(gè)用于光線追跡的光滑表面。而多項(xiàng)式和Zernike表面類型則是通過通用的任意階多項(xiàng)式實(shí)現(xiàn)相同的目的。

我們將采用擴(kuò)展多項(xiàng)式表面類型來進(jìn)行漸進(jìn)透鏡設(shè)計(jì)演示，下圖為附件中名為progressive_starting_point.zmx的3D布局圖：

文件包含三個(gè)多重結(jié)構(gòu)，如圖：

請注意：半直徑 (Semi-Diameter) 的求解類型應(yīng)選為最大，使光學(xué)系統(tǒng)的口徑與多重結(jié)構(gòu)中最大的那個(gè)相同。另外，在系統(tǒng)配置 (System Explorer)…系統(tǒng)孔徑 (Aperture) 中設(shè)置凈口徑余量 毫米(Clear Semi Diameter Margin Millimeters)為3mm，以保證所需的光能順利穿過透鏡，同時(shí)方便安裝。

三個(gè)多重結(jié)構(gòu)中，光線分別從無窮遠(yuǎn)處、從1000mm遠(yuǎn)處以10°視場角和從500mm遠(yuǎn)處以20°視場角入射。分別用來表示配戴眼鏡的人觀察不同距離、不同視場上的景物。因?yàn)楸纠菬o焦的，所以下圖是以角度單位（毫弧度）表示的。我們可以從圖中清楚地看到光的角偏差隨視場變化而變化。

用來校正該偏差的透鏡材料為聚碳酸酯，前表面表面類型是擴(kuò)展多項(xiàng)式，后表面類型是標(biāo)準(zhǔn)面。

前表面擴(kuò)展多項(xiàng)式的矢高方程為：

它以一個(gè)圓錐系數(shù)非球面為基準(zhǔn)面，在其上添加多項(xiàng)式。這個(gè)基準(zhǔn)面非常有用，因?yàn)榻S光線會(huì)以它的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，所以如有效焦距 (EFFL) 這樣的近軸概念仍然適用。多項(xiàng)式是x的m次冪乘以y的n次冪的形式，m和n都是整數(shù)，x和y代表表面上點(diǎn)的坐標(biāo)。在鏡頭數(shù)據(jù)編輯器 (Lens Data Editor) 中，最大項(xiàng)數(shù)# (Maximum Term # )設(shè)置為40項(xiàng)，冪次低于x的4次方乘以y的4次方所有項(xiàng)均為變量，冪次高于x的4次方乘以y的4次方的項(xiàng)被自動(dòng)設(shè)置為0，且求解類型為固定，但如果你想的話，你可以修改所有230項(xiàng)多項(xiàng)式的參數(shù)。評價(jià)函數(shù)考慮了每種多重結(jié)構(gòu)下的角半徑，以及玻璃合理的中心厚度和邊緣厚度。這些可以用優(yōu)化向?qū)?(Optimization Wizard) 自動(dòng)生成，設(shè)計(jì)的目標(biāo)是：視場中不同位置的目標(biāo)都能通過透鏡獲得最佳準(zhǔn)直光。

點(diǎn)擊優(yōu)化(Optimize)…執(zhí)行優(yōu)化(Optimize!)…開始(Start) 開始局部優(yōu)化，OpticStudio將快速操縱24個(gè)變量，為我們產(chǎn)生一個(gè)能獲得最佳準(zhǔn)直光輸出的自由曲面：

分析自由曲面

透鏡自由曲面的實(shí)體模型表明，表面的矢高非常復(fù)雜：

注意：在沒有光線經(jīng)過的邊緣部分，透鏡經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)預(yù)期之外的結(jié)果。這是自由曲面設(shè)計(jì)中的常見問題，所以我們應(yīng)該在整個(gè)表面添加單光線或其他形式的約束，防止設(shè)計(jì)出的曲面無法加工。

這個(gè)自由曲面如此復(fù)雜，所以光扇圖 (Ran fans) 和光程差圖 (OPD) 不足以評價(jià)這個(gè)自由曲面光學(xué)系統(tǒng)的性能。這種情況下，我們應(yīng)使用分析 (Analyze)…PAL/Freeform分析 (PAL/Freeform)…視場光焦圖 (Field Map) 工具。設(shè)置屈光度間隔為0.25，我們就能夠看到整個(gè)表面在視場上增加的球面和柱面光焦度：

這些圖不使用OpticStudio其他地方使用的光焦度和有效焦距等嚴(yán)格近軸概念。而是將光焦度和焦距作為視場坐標(biāo)的函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。光焦度和焦距是由整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)共同決定的，包括每個(gè)面上的折射。實(shí)現(xiàn)的方法是：在視場中每個(gè)點(diǎn)的入瞳附近追跡一圈真實(shí)光線，光線數(shù)據(jù)用以確定每個(gè)視場下的焦距，焦距可用來計(jì)算以屈光度為單位的光焦度（單位數(shù)值為米的倒數(shù)）。一般情況下，焦距是入瞳方向的函數(shù)，通過追跡一圈光線，可以確定光瞳附近的平均、最大、最小光焦度和焦距。根據(jù)這些數(shù)據(jù)能計(jì)算出多種不同的光焦度。它們以屈光度為單位：

1、球面光焦度

2、柱面光焦度

3、最大和最小光焦度

4、垂直和水平光焦度

5、X或Y方向光焦度

此外，該功能還可以以透鏡單位顯示有效焦距 ( EFL )。

這些圖表為我們理解自由曲面如何影響光焦度變化提供巨大幫助。

另外，POWF操作數(shù)可以直接優(yōu)化任何點(diǎn)上用視場光焦圖計(jì)算出的任何項(xiàng)。該功能在已知某表面上的視場光焦圖時(shí)非常有用。

總結(jié)

設(shè)計(jì)自由曲面或漸進(jìn)透鏡理論上與傳統(tǒng)透鏡沒有區(qū)別，但是由于自由曲面上任一點(diǎn)都可以輕松增加或減少光焦度，所以我們需要額外的優(yōu)化和分析手段。視場光焦圖和POWF操作數(shù)即是OpticStudio進(jìn)行自由曲面設(shè)計(jì)時(shí)分管這一部分的功能。