詳解公差分析中的 Root Sum Square (RSS)

簡介

在所有公差單獨(dú)計(jì)算之后，OpticStudio 可以計(jì)算各種不同的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，其中最重要的就是 "估算改變量 (Estimated Change)" 以及 “預(yù)估性能改變量 (Estimated Performance)” (本范例中為 Estimated RMS Wavefront)。OpticStudio 使用平方和的根(RSS , Root Sum Square) 方法來計(jì)算品質(zhì)的估算改變量 (Estimated Change)。對(duì)于每個(gè)公差項(xiàng)，首先計(jì)算相對(duì)于名義值的性能改變量的平方，然后計(jì)算最小和最大公差值的平均值。最大與最小值之所以取平均是因?yàn)樗鼈儾豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生，如果相加的話會(huì)導(dǎo)致過分悲觀的預(yù)測(cè)。

堆疊問題

我們將用公差統(tǒng)計(jì)中的堆疊問題 (Stack Up) 說明 RSS 的計(jì)算。

問題的描述是這樣的：

想象我們有 5 個(gè)木板要疊在一起，并需要估計(jì)疊在一起的總厚度。已知每一片木板的厚度都有些許不同 (現(xiàn)實(shí)世界總是會(huì)有誤差！)，每片木板的厚度大約在25 mm±0.1 mm的范圍內(nèi)隨機(jī)分布。假設(shè)這些木板的厚度幾率是正態(tài)分布，中心是 25 mm，幾率最大，25.1 mm跟24.9 mm的幾率則是 e^-2，剛好是距離中心兩倍標(biāo)準(zhǔn)差 (sigma) 的位置，畫出來如下圖。

現(xiàn)在問題是，如果我們疊了5塊木板以后，厚度的幾率分布會(huì)變成怎樣？

答案是125 mm±0.224 mm。并且也會(huì)是正態(tài)分布。以125作為中心，125.224與124.776的位置發(fā)生幾率恰好是e^-2。

換句話說，整個(gè)系統(tǒng)的總厚度：

1. 也是正態(tài)分布。

2. 正態(tài)分布中心剛好是每塊木板的各自幾率分布的中心的總合：5+5+5+5+5=125。

3. 整個(gè)系統(tǒng)正態(tài)分布幾率為 e^-2 的地方，會(huì)是每塊木板各自正態(tài)分布為 e^-2 時(shí)的偏差值 (deviation) 各自平方后、再加和、再開根號(hào)，也就是所謂的平方和的根 ( RSS, Root Sum Square)，你可以在Excel中輸入這右邊這串計(jì)算來驗(yàn)證：sqrt(0.1^2+0.1^2+0.1^2+0.1^2+0.1^2)。答案正是 0.224。

詳細(xì)的證明可以參考 Wiki 的說明：

https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_normally_distributed_random_variables

解讀與假設(shè)

看到這里就能理解，平方和的根的偏差 (RSS Deviation) 代表的是整個(gè)系統(tǒng)最終落在這個(gè)范圍內(nèi)的幾率是95.4%。以前面的例子來說，最終五片木板的厚度落在正負(fù) 0.224 范圍內(nèi)的幾率是 95.4%。

必須注意的是，這樣的估計(jì)方式有兩個(gè)重要假設(shè)：

1. 每個(gè)變量的影響都是正態(tài)分布。 例如前面例子中每個(gè)木板的厚度都是正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差是 0.05。(注意前面說的正負(fù)0.1是標(biāo)準(zhǔn)差的兩倍，也就是 2 sigma)

2. 變量之間的關(guān)系是互相獨(dú)立的。

每一片木板的厚度變化對(duì)整體厚度的影響不會(huì)受到其他木板的影響。木板 a 偏差+0.03，不論木板 b 偏差是 -0.07 還是 0.01或其他數(shù)字，木板 a 對(duì)整體系統(tǒng)的影響就是+0.03，不會(huì)受到其他變數(shù)大小影響。

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綜上，回到我們的 OpticStudio 公差分析。

在看估算改變量 (Estimated Change) 時(shí)，我們應(yīng)該說，如果各個(gè)公差都符合正態(tài)分布與變量互相獨(dú)立的假設(shè)，則代表統(tǒng)計(jì)上最終會(huì)有95.4%的系統(tǒng)，他們距離標(biāo)稱值，或說原始設(shè)計(jì)值 (Nomial) 的偏差 (Criterion) 都小于估算改變量 (Estimated Change)。

而對(duì)于預(yù)估性能改變量 (Estimated Performance ) (可能是 RMS Spot Size 或其他你設(shè)定的值)，我們則可以說，95.4%以上的系統(tǒng)，他們的效能都會(huì)比這個(gè)數(shù)值還要 “好”。這就是為什么我們說蒙特卡羅 (Monte Carlo) 分析時(shí)，很少系統(tǒng)會(huì)比這個(gè)數(shù)值還差，并且可以把 RSS Performance 當(dāng)作最差系統(tǒng)的原因。

范例驗(yàn)證

讓我們打開一個(gè)內(nèi)置范例來驗(yàn)證：\Zemax\Samples\Sequential\Objectives\Cooke 40 degree field.zmx。

在公差編輯器中輸入簡單的6個(gè)公差，我們只分析第一片與第二片鏡片的傾斜、離心與鏡片厚度。并設(shè)有一個(gè)后焦距補(bǔ)償 COMP，可以補(bǔ)償 TTHI 造成的離焦。

公差分析設(shè)定如下：

可以看到預(yù)估性能改變量 (Estimated Performance) 的值如下：

而對(duì)比一下就可以發(fā)現(xiàn)大約是落在蒙特卡羅 (Monte Carlo) 分析中的 90% 到 98%之間。

須注意：由于在系統(tǒng)中，不像疊木塊這么單純，一些公差，例如傾斜與離心，不是完全獨(dú)立。因此有時(shí)候 RSS 分析的結(jié)果會(huì)比蒙地卡羅預(yù)測(cè)的還要更差 (尤其公差非常寬松時(shí))。