概要

這篇文章介紹了 MTF 相關(guān)的操作數(shù)、采樣率和優(yōu)化算法的選擇以及獲取最優(yōu) MTF 的設(shè)計(jì)思路。

什么是MTF？

調(diào)制傳遞函數(shù)（ Modulation Transfer Function，MTF ）是用來(lái)形容光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的重要指標(biāo)。通過(guò)對(duì)光學(xué)系統(tǒng)像空間進(jìn)行傅里葉變換，可以得到一張分析圖表，來(lái)描述像面上對(duì)比度和空間頻率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

空間頻率是通過(guò)聚焦的像空間上每毫米周期數(shù)（ Cycles ）來(lái)定義的，或者在無(wú)焦像空間中用每毫弧度或其他角度單位中的周期數(shù)來(lái)定義?！爸芷跀?shù)（ Cycles ）”是描述正弦強(qiáng)度分布 MTF 響應(yīng)的最精確的用詞。很多情況下也會(huì)使用“線對(duì)數(shù)（ Line pairs ）”這一詞，但嚴(yán)格來(lái)講這一詞只用來(lái)形容黑白相間線對(duì)目標(biāo)，而非灰度值正弦變化的目標(biāo)。這兩種情況在 OpticStudio 都可以計(jì)算。

如上圖所示的幾何位圖圖像分析（ Geometric Bitmap Image Analysis ）中，我們可以看到圖像有較好的成像質(zhì)量，然而我們?nèi)绾味x它有多好呢？我們可以采用不同線對(duì)數(shù)的條紋圖的對(duì)比度來(lái)量化評(píng)估成像的結(jié)果。MTF 描述了不同空間頻率時(shí)，從物空間到像空間的調(diào)制傳遞函數(shù)的模數(shù)，MTF 是評(píng)估透鏡組性能的常用方式。并且在設(shè)計(jì)過(guò)程中，MTF 經(jīng)常會(huì)作為優(yōu)化目標(biāo)或公差分析目標(biāo)。

如上圖所示，這是透鏡組的 MTF 圖表，它提供了在透鏡可以支持的最大空間頻率下任意空間頻率處的對(duì)比度。在這個(gè)例子中，我們將顯示的最大空間頻率設(shè)為100 cycles/mm。圖中黑線表示衍射極限下的成像結(jié)果，即相同F(xiàn)數(shù)，但無(wú)像差的透鏡組所能達(dá)到最好的對(duì)比度。當(dāng)你熟悉 MTF 圖表的意義后，你可以通過(guò) MTF 曲線快速的了解透鏡組的成像質(zhì)量。

注：在幾何位圖圖像分析中顯示的模擬圖片的分辨率受限于圖像的壓縮以及顯示器的分辨率。Opticstudio 提供的原始圖片的分辨率達(dá)到攝影相片的標(biāo)準(zhǔn)。更多有關(guān)這方面的信息請(qǐng)參考知識(shí)庫(kù)文章：How to Produce Photo-Realistic Output Images for full details

如何優(yōu)化MTF

當(dāng)均方根波前差（ RMS Wavefront error ）接近零時(shí)，MTF 分析結(jié)果將接近衍射極限。當(dāng)我們需要對(duì)透鏡系統(tǒng)在目標(biāo)空間頻率下進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，使用默認(rèn)的均方根波前差評(píng)價(jià)函數(shù)實(shí)際上非常適合進(jìn)行初步優(yōu)化。如果需要的話(huà)，您還可以通過(guò)設(shè)置特定的 MTF 優(yōu)化操作數(shù)來(lái)對(duì)最后的成像結(jié)果進(jìn)行調(diào)整。

計(jì)算 MTF 要比計(jì)算波前花費(fèi)更多時(shí)間，因此我們強(qiáng)烈建議您先對(duì)波前進(jìn)行初始優(yōu)化。另外，當(dāng)系統(tǒng)成像質(zhì)量不好時(shí)，直接對(duì) MTF 進(jìn)行優(yōu)化可能會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化停滯不再繼續(xù)。例如我們將前文所述透鏡只進(jìn)行簡(jiǎn)單的離焦，我們會(huì)看到 MTF 會(huì)下降到零然后再次上升，如下圖所示。

這被稱(chēng)為偽分辨率，它會(huì)造成局部?jī)?yōu)化器優(yōu)化停滯，因?yàn)?MTF 必須先變得更差，之后只有跳出局部解才能再次提升。雖然錘優(yōu)化（ Hammer ）和全局搜索優(yōu)化（ Gobal Search ）會(huì)解決這個(gè)問(wèn)題，但我們最好通過(guò)優(yōu)化波前，使透鏡組的目標(biāo) MTF在其第一個(gè)極小值之內(nèi)。只有這個(gè)時(shí)候，我們才建議您開(kāi)始對(duì)特定 MTF 進(jìn)行優(yōu)化。

如何優(yōu)化MTF

MTF 分析功能可以用圖表的形式提供透鏡系統(tǒng)支持的所有空間頻率下MTF 的結(jié)果，這一功能使用的 MTF 算法是以傅里葉衍射理論為基礎(chǔ)的。其計(jì)算方法為追跡光瞳上網(wǎng)格排布的一組光線，使用快速傅里葉變化（Fast Fourier Transform）進(jìn)行計(jì)算（因此該方法也稱(chēng)為 FFT MTF）。其 MTF計(jì)算結(jié)果實(shí)質(zhì)為關(guān)于物方正弦強(qiáng)度空間頻率的函數(shù)的模數(shù)（ Modulation ）。FFT MTF 也可以計(jì)算實(shí)部、虛部、相位或方波強(qiáng)度分布（即黑白相間條紋）的結(jié)果。

當(dāng)我們進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，通常情況下只對(duì)系統(tǒng)特定空間頻率有要求，這時(shí)沒(méi)有必要對(duì)所有空間頻率的 MTF 進(jìn)行計(jì)算。因此可以使用操作數(shù) MTF* 可以計(jì)算特定空間頻率下的 MTF 結(jié)果（請(qǐng)查閱用戶(hù)手冊(cè)獲取更全面的信息）。分析圖表所使用的采樣方法為網(wǎng)格采樣，在使用操作數(shù)時(shí)您可以選擇繼續(xù)使用這種采樣方法，或使用更快速的稀疏采樣方法。稀疏采樣是操作數(shù)默認(rèn)的采樣方法，并且?guī)缀跛械膬?yōu)化案例中我們都建議您使用這種采樣方法。

稀疏采樣計(jì)算的收斂速度非常非常快，某種意義上類(lèi)似于高斯求積分法。稀疏采樣計(jì)算任意精度的 MTF 所使用的光線數(shù)量遠(yuǎn)小于網(wǎng)格采樣。并且更重要的是，在夫瑯禾費(fèi)理論適用的所有情況下，稀疏采樣的精度非常高。

以 OpticStudio 示例文件中一個(gè)雙高斯系統(tǒng)在50lp/mm處計(jì)算多波長(zhǎng)MTF 為例，下述表格展示了兩種方法隨著采樣率逐漸提高后的收斂速度及計(jì)算結(jié)果：

下表為相同數(shù)據(jù)下，邊緣視場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果：

通常來(lái)講對(duì)于優(yōu)化和公差分析這樣的應(yīng)用需求，收斂到1%已經(jīng)足夠了。即便使用儀器測(cè)量 MTF 也無(wú)法達(dá)到0.1%以下的重復(fù)精度。在優(yōu)化過(guò)程中，我們不需要使用很高精度進(jìn)行計(jì)算，通常只需要三位有效數(shù)字。兩種采樣方法都可以在足夠的采樣率下收斂到任意精度，然而快速稀疏采樣在保證精度的前提下，計(jì)算速度會(huì)快很多個(gè)量級(jí)。

網(wǎng)格采樣目前只會(huì)在一種情況下收斂更快：當(dāng)像差非常大且 MFT 計(jì)算結(jié)果非常低（低于5%）。此時(shí)的 MTF 結(jié)果通常不會(huì)用來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能，并且一般不會(huì)作為優(yōu)化或公差分析的目標(biāo)。這種情況下 OpticStudio 將自動(dòng)切換至網(wǎng)格采樣進(jìn)行計(jì)算。需要注意的是，此種情況下最好使用幾何 MTF 進(jìn)行計(jì)算。

幾何 MTF

假設(shè)我們要分析一個(gè)35mm F/1.8的單反相機(jī)鏡頭。系統(tǒng)在最大光圈時(shí)像差最嚴(yán)重。當(dāng)減小系統(tǒng)光闌，像差隨之減小，像面上的成像質(zhì)量提高。但像面成像質(zhì)量不會(huì)一直提高：光闌的衍射作用會(huì)逐漸增大，在光圈減小到一定程度時(shí)會(huì)阻止成像質(zhì)量繼續(xù)提高。

在系統(tǒng)存在許多個(gè)波長(zhǎng)的波前差時(shí)，我們推薦您使用幾何 MTF 計(jì)算以及優(yōu)化操作數(shù) GMT*。幾何 MTF 的計(jì)算方法是對(duì)幾何點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，并使用高斯求積進(jìn)行采樣。

使用幾何 MTF 最主要的優(yōu)點(diǎn)在于，相比衍射 MTF，幾何 MTF 計(jì)算速度非?？臁Ｔ谙到y(tǒng)存在較大像差時(shí)，使用幾何 MTF 計(jì)算更加準(zhǔn)確，而衍射MTF 則需要龐大的采樣率來(lái)使結(jié)果收斂。在這樣的應(yīng)用條件下，幾何 MTF比衍射 MTF 的計(jì)算速度快100倍以上。

幾何 MTF 計(jì)算可以考慮光學(xué)表面的散射作用，表面的散射會(huì)增加像面的噪底，進(jìn)而降低 MTF。

操作數(shù) GMTF 在全局搜索優(yōu)化中非常有用，用戶(hù)可以有效地搜索所有參數(shù)空間來(lái)確定更好的局部極值，即更好的光學(xué)結(jié)構(gòu)。

當(dāng)系統(tǒng)的衍射作用非常重要時(shí)，應(yīng)使用衍射的方法計(jì)算 MTF。

惠更斯 MTF

我們已經(jīng)了解了使用快速傅里葉變換計(jì)算點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和 MTF 的方法，其理論基礎(chǔ)是夫瑯禾費(fèi)衍射理論。主要前提假設(shè)有：
1、光學(xué)系統(tǒng)F數(shù)足夠大以使得標(biāo)量衍射理論成立
2、衍射點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的顯著能量分布的區(qū)域遠(yuǎn)小于系統(tǒng)出瞳到像面的距離
3、出瞳相比入瞳沒(méi)有明顯畸變。這意味著在入瞳上均勻分布的光線到達(dá)出瞳時(shí)，也應(yīng)保持合理的均勻分布
4、采樣率應(yīng)該足夠高來(lái)保證正確計(jì)算點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。

大部分光學(xué)成像系統(tǒng)都滿(mǎn)足夫瑯禾費(fèi)衍射理論中使用快速傅里葉變換的前提假設(shè)，但有些情況并不成立。

惠更斯 MTF 并不是基于快速傅里葉變換進(jìn)行計(jì)算的。其前提假設(shè)只包括系統(tǒng) F 數(shù)足夠大以使標(biāo)量衍射理論成立，以及采樣率足夠高來(lái)正確計(jì)算PSF。

從知識(shí)庫(kù)文章 What is a Point Spread Function 中您可以了解更多惠更斯計(jì)算理論的相關(guān)內(nèi)容。

事實(shí)上所有成像系統(tǒng)都滿(mǎn)足計(jì)算惠更斯PSF所需要的前提假設(shè)。惠更斯 MTF 的計(jì)算速度要比 FFT ( Fraunhofer ) MTF 慢。但在 FFT MTF 前提假設(shè)不成立的情況下，惠更斯MTF計(jì)算會(huì)得到更準(zhǔn)確的結(jié)果。

以下這種情況只能使用惠更斯 MTF 進(jìn)行計(jì)算：系統(tǒng)中主光線無(wú)法完成追跡，則無(wú)法建立以主光線為中心參考的球面。在計(jì)算許多波前參數(shù)是都需要參考球面。在這樣的情況下，可以改用惠更斯 PSF 和 MTF 進(jìn)行計(jì)算。存在這種情況的應(yīng)用實(shí)例之一是多鏡面望遠(yuǎn)鏡，其主光線并沒(méi)有傳播到像面上。

由于主光線無(wú)法追跡到像面，光程差（ OPD ）無(wú)法進(jìn)行計(jì)算，因此基于光程差得到的所有參數(shù)都無(wú)法計(jì)算：

由于惠更斯計(jì)算不以任意一根光線作為參考，惠更斯 MTF 和 PSF 計(jì)算可以得到完美的結(jié)果。

此示例文件已保存在 OpticStudio 的示例文件夾中，其目錄地址為：\Samples\Non-sequential\Miscellaneous\Multiple mirror telescope.ZMX

惠更斯計(jì)算還有一點(diǎn)好處在于可以考慮多重結(jié)構(gòu)（Multi-configuration ）。這對(duì)于設(shè)計(jì)多鏡面望遠(yuǎn)鏡非常有幫助，特別是基準(zhǔn)線很長(zhǎng)的光學(xué)儀器系統(tǒng)，這種系統(tǒng)中主鏡被拆分并相隔很長(zhǎng)的距離。在這種情況下系統(tǒng)一般不會(huì)使用一個(gè)共用的入瞳，因?yàn)檫@樣的話(huà)會(huì)使過(guò)少的光線到達(dá)主鏡面導(dǎo)致效率很低。在這樣的情況下只有使用惠更斯計(jì)算。

如果想要基于惠更斯MTF進(jìn)行優(yōu)化或公差分析，您可以使用操作數(shù)MTH*。

總結(jié)

調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）是光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中非常重要的指標(biāo)。OpticStudio提供了幾種算法來(lái)進(jìn)行計(jì)算：

· 基于夫瑯禾費(fèi)衍射理論的快速傅里葉變換法是最常見(jiàn)的一種方法。OpticStudio 計(jì)算透鏡系統(tǒng)支持的所有空間分辨率下的 MTF（雖然只顯示那些目標(biāo)空間頻率的 MTF ）并將其繪制為 MTF vs 空間頻率的曲線圖。當(dāng)進(jìn)行優(yōu)化或公差分析時(shí)，只有那些目標(biāo)空間頻率會(huì)被計(jì)算，對(duì)于給定精度的前提下其計(jì)算速度會(huì)比較快。如果需要的話(huà)，可以選擇網(wǎng)格采樣進(jìn)行計(jì)算。

· 對(duì)于那些像差較大的光學(xué)系統(tǒng)，幾何 MTF 會(huì)以非?？斓乃俣扔?jì)算出近似 MTF。當(dāng)設(shè)計(jì)處于探索階段時(shí)，使用幾何 MTF 是個(gè)非常好的選擇，其速度和計(jì)算均方根點(diǎn)列圖半徑的速度相當(dāng)。

· 對(duì)于不符合夫瑯禾費(fèi)理論的前提假設(shè)或主光線不能被追跡的系統(tǒng)，我們可以改用惠更斯計(jì)算，惠更斯計(jì)算 MTF 的結(jié)果非常準(zhǔn)確，但唯一的缺點(diǎn)是計(jì)算速度相比較慢。

需要注意的是，無(wú)論采用哪種方法，MTF 會(huì)隨著均方根波前差接近零而接近衍射極限。因此在進(jìn)行初始結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，推薦您使用默認(rèn)的均方根波前評(píng)價(jià)函數(shù)，在 MTF 圖表中，系統(tǒng)在目標(biāo)空間頻率小于 MTF 第一個(gè)為零的極小值頻率點(diǎn)之前，請(qǐng)不要以 MTF 作為優(yōu)化目標(biāo)。此外，OpticStudio 中也有直接針對(duì) MTF 進(jìn)行優(yōu)化的優(yōu)化算法 —— 對(duì)比度優(yōu)化（Contrast Optimization），該算法可以不受像差較大的情況下必須先對(duì)均方根波前差進(jìn)行優(yōu)化的限制，可直接優(yōu)化得到較好的 MTF 值，詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)參閱知識(shí)庫(kù)文章：Optimizing for MTF Performance using Contrast Optimization。