ZEMAX | 什么是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（ PSF ）
這篇文章講述了：
什么是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)？
1、點(diǎn)列圖
2、快速傅里葉變換計算的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（ FFT PSF ）
3、惠更斯算法計算的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（ Huygens PSF ）
4、如何使用非序列模式下的透鏡和探測器觀察惠更斯積分
5、對于序列模式下的透鏡組，分析點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)時如何在惠更斯和快速傅里葉變換計算兩者間進(jìn)行選擇
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什么是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（ PSF ）？
PSF 是一個物空間的點(diǎn)光源經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后的輻射照度分布。望遠(yuǎn)鏡對遙遠(yuǎn)行星成像就是一個很好的 PSF 例子：由于行星距離我們非常遠(yuǎn)以至于我們在任何條件下都可以把它當(dāng)做一個點(diǎn)。雖然發(fā)光光源是一個理想的點(diǎn)，但是像點(diǎn)并不是一個點(diǎn)。這是因為兩個主要原因：首先，光學(xué)系統(tǒng)的像差會影響像點(diǎn)，使其在有限的區(qū)域內(nèi)擴(kuò)散；其次，即使光學(xué)系統(tǒng)沒有像差，衍射效應(yīng)同樣會使像點(diǎn)發(fā)生擴(kuò)散。
OpticStudio 內(nèi)置了三種計算 PSF 的方法：幾何（無衍射效應(yīng)）點(diǎn)列圖、基于衍射效應(yīng)的快速傅里葉變換（ FFT ）PSF 和惠更斯（ Huygens ）PSF 。這篇文章將討論每種算法的理論基礎(chǔ)，并給出了一些使用建議。
點(diǎn)列圖：幾何 PSF
點(diǎn)列圖是 OpticStudio 中最基礎(chǔ)的分析功能之一。該功能會加載多條從物空間點(diǎn)光源發(fā)出的光線，并對所有光線穿過光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行追跡，然后將以圖表的形式顯示光線相對于特定參考點(diǎn)的坐標(biāo)圖。
本文中使用的示例系統(tǒng)是一個焦距為50mm、F 數(shù)為5的拋物面反射鏡。物體放置于無窮遠(yuǎn)處。這是一個簡單的牛頓望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)，示例文件名為PSF_Newtonian.ZMX 。光學(xué)系統(tǒng)如下所示：
兩個視場下的點(diǎn)列圖如下所示，其中一個視場為軸上視場，另一個為2°的離軸視場：
如圖可見，點(diǎn)列圖是一堆點(diǎn)的集合，其中每一個點(diǎn)代表一根光線。每根光線間沒有任何相互作用。點(diǎn)列圖非常高效的展示了望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的幾何效應(yīng)或光線像差。其中，離軸幾何 PSF 圖像（2°視場下點(diǎn)列圖）非常形象的展示了系統(tǒng)的慧差和像散。然而對于軸上視場，點(diǎn)列圖給出了完美像點(diǎn)的分析結(jié)果。這是光學(xué)系統(tǒng)成像的正確結(jié)果嗎？為了回答這一問題，我們需要將點(diǎn)列圖的結(jié)果即點(diǎn)的分布，與衍射極限相比較。
將艾里斑（ Airy Disk ）的參考橢圓添加到點(diǎn)列圖中是一個快速比對幾何像差和衍射效應(yīng)的方法。打開點(diǎn)列圖的設(shè)置列表，并勾選顯示艾里斑：
現(xiàn)在，點(diǎn)列圖將在幾何點(diǎn)分布上的相應(yīng)位置處，顯示出艾里斑的直徑：
在軸上視場上點(diǎn)的分布遠(yuǎn)小于艾里斑，而在離軸視場上點(diǎn)的分布則遠(yuǎn)大于艾里斑。這表明點(diǎn)列圖只能有效合理的展示離軸視場的成像結(jié)果。想要同時計算軸上和離軸視場正確的 PSF，則需要考慮衍射效應(yīng)帶來的影響。
通常來說，當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)的像差影響相比衍射效應(yīng)大很多時，點(diǎn)列圖是評價光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量非常有效的方法。
FFT PSF
快速傅里葉變換（ FFT ）算法廣泛應(yīng)用于許多光電系統(tǒng)的頻率分析中。從概念上講，F(xiàn)FT 將一個空間上的分布分解為頻域上的分布。對于傅里葉光學(xué)的詳細(xì)講解請參考書籍《 Introduction to Fourier optics 》，在用戶手冊的“物理光學(xué)傳播（ Physical Optics Propagation ）”一章中也有對衍射理論的總結(jié)。兩份資料都介紹了菲涅爾和夫瑯禾費(fèi)衍射理論。
大多數(shù)光學(xué)系統(tǒng)都滿足基于夫瑯禾費(fèi)衍射理論的 FFT PSF 算法所必須的簡化假設(shè)。其主要假設(shè)有：
1、F 數(shù)足夠大使得標(biāo)量衍射理論成立
2、衍射 PSF 能量顯著區(qū)域遠(yuǎn)小于光學(xué)系統(tǒng)出瞳到像面的距離
3、出瞳相對入瞳沒有明顯畸變。這表示入瞳上均勻分布的光線在出瞳上也應(yīng)是合理的均勻分布
4、高采樣率以滿足準(zhǔn)確模擬 PSF 的要求
5、像面上的主光線和法線夾角很小
光學(xué)系統(tǒng)的 FFT PSF 是通過如下方法計算所得：一組呈網(wǎng)格狀分布的光線從點(diǎn)光源發(fā)出射向系統(tǒng)出瞳。OpticStudio 會使用幅值和光程差計算每一根光線出瞳處波前網(wǎng)格上對應(yīng)點(diǎn)的復(fù)振幅。經(jīng)過適當(dāng)縮放后該網(wǎng)格的快速傅里葉變換經(jīng)過平方得到 PSF 的實部值。如果計算是多波長的，則 PSF 將進(jìn)行累加。想要計算序列模式系統(tǒng)的 FFT PSF，請在 OpticStudio 的主菜單中選擇分析選項卡（Analysis）>點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（PSF）> FFT PSF 。示例文件牛頓望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的軸上視場的 FFT PSF，如下圖所示，其分析設(shè)置參數(shù)稍后我們會做討論。
注意圖中相似的艾里斑波形。牛頓望遠(yuǎn)系統(tǒng)的軸上視場像差為零，如上圖所示這也是符合預(yù)期的結(jié)果。
為了生成如上圖所示的圖像，F(xiàn)FT PST 的設(shè)置菜單應(yīng)該如下圖所示：
這里的采樣是指對射向系統(tǒng)入瞳處的網(wǎng)格分布光線的采樣率。OpticStudio 會自動設(shè)置顯示網(wǎng)格的尺寸比采樣網(wǎng)格大一倍，并將超出入瞳區(qū)域的數(shù)據(jù)用零代替。因此 PSF 的分析結(jié)果顯示的點(diǎn)要比網(wǎng)格采樣點(diǎn)多4倍。如果系統(tǒng)像差很小，則我們感興趣的區(qū)域?qū)⒓性趫D表的中心。為了減少顯示這些近似等于零的數(shù)據(jù)，我們選擇顯示網(wǎng)格為較小的尺寸。
在分析參數(shù)設(shè)置中可以使用多種網(wǎng)格尺寸來顯示同樣的 PSF 數(shù)據(jù)，可以設(shè)置如下圖所示參數(shù)：
顯示網(wǎng)格的尺寸為128x128，視場編號為2，類型為對數(shù)，顯示為偽彩色圖。其分析結(jié)果如下圖所示：
惠更斯 PSF
從概念上講，惠更斯 PSF 通過將點(diǎn)列圖上每一根光線轉(zhuǎn)換為一個小的平面波?；叵胍幌?，光線可以模擬一個小區(qū)域的平面波，因此光線在各向同性介質(zhì)中與波前垂直。由光線模擬的平面波擁有振幅、相位和傳播方向這三個參數(shù)。因此像面上的總輻照度分布可以考慮為所有追跡光線所代表的平面波的相干疊加。對所有光線的積分可以直接得到衍射 PSF。
OpticStudio 中大多數(shù)衍射效應(yīng)是基于標(biāo)量衍射理論的（ F 數(shù)不會很小），但惠更斯算法在“使用偏振（ Use Polarization ）”開啟時可以考慮電場的矢量特性。所有基于惠更斯算法的分析都全面考慮了偏振向量和偏振相位引入的像差。這一算法通過分別計算偏振電場的 Ex,Ey,Ez 分量，然后進(jìn)行非相干疊加。和計算其他相位差一樣，惠更斯算法會計算電場中每一個正交分量引入的偏振相位差。
實際上所有光學(xué)系統(tǒng)都滿足進(jìn)行惠更斯 PSF 計算的前提假設(shè)：
·采樣率足夠高以準(zhǔn)確模擬 PSF
惠更斯 PSF 不是基于 FFT 進(jìn)行計算的。雖然計算速度方面惠更斯 PSF 通常要比 FFT PSF 慢，但是在不滿足 FFT PSF 前提假設(shè)的情況下惠更斯PSF要更加準(zhǔn)確。使用 FFT PSF 假設(shè)有問題從而需要使用惠更斯 PSF 的情況有：
1、像面與主光線的垂直面存在明顯傾斜
2、出瞳相對于入瞳存在明顯的畸變
光學(xué)系統(tǒng)的惠更斯 PSF 的計算如下。從點(diǎn)光源出發(fā)追跡網(wǎng)格分布的光線并傳播到像面。使用光線的振幅、坐標(biāo)、方向余弦和光程差，計算每根光線在像空間網(wǎng)格上每點(diǎn)處的平面波的復(fù)振幅。將像空間每個網(wǎng)格點(diǎn)上所有光線的復(fù)振幅相干疊加。則像空間每個網(wǎng)格點(diǎn)上的強(qiáng)度為疊加復(fù)振幅的平方。如果計算中考慮多個波長，則對不同波長的 PSF 結(jié)果進(jìn)行非相干疊加。
如果您想要計算序列模式下系統(tǒng)的惠更斯 PSF，在 OpticStudio 主菜單中選擇分析選項卡（ Analysis ）> PSF > 惠更斯 PSF（ Huygens PSF ）?；莞?PSF 同樣可以計算非序列元件（NSC）系統(tǒng)，我們將在后文中詳細(xì)介紹。需要注意的是 FFT PSF 不能應(yīng)用于非序列系統(tǒng)。
由用戶定義的惠更斯 PSF 的關(guān)鍵設(shè)置參數(shù)是光瞳采樣、像面采樣和像面采樣間距。這些參數(shù)可以在惠更斯 PSF 分析參數(shù)設(shè)置表中輸入。打開參數(shù)設(shè)置表并如下圖輸入?yún)?shù)：
像面采樣間距為像面上每個網(wǎng)格點(diǎn)之間的距離，其單位為毫米。計算PSF 的總體區(qū)域的尺寸是像面采樣和像面采樣間距之積。
如下圖所示為示例牛頓望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)軸上視場的惠更斯 PSF：
離軸視場如下圖所示（將視場編號改為2）：
光線數(shù)量和像點(diǎn)越多，PSF 的分辨率和計算精度越高。但這會帶來計算時間的增加。
觀察惠更斯積分
觀察積分過程的一種方法是一次觀察一根光線的相干疊加結(jié)果。這可以通過在 OpticStudio 的非序列元件功能中設(shè)置相干探測器來完成。示例文件為HPSF_Integration.ZMX。
該示例文件包括一個橢圓光源、一個單透鏡和一個矩形探測器物體。光源在一個圓形區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生多條隨機(jī)光線。所有光線沿 Z 軸平行出射。光源模擬一束準(zhǔn)直光或無窮遠(yuǎn)的點(diǎn)光源。光線輸出條數(shù)設(shè)為20，分析光線的條數(shù)設(shè)為1。這將使系統(tǒng)在同一時刻只分析一條光線，我們會在后文中詳細(xì)討論。透鏡為一個簡單的單透鏡，它用來將平行光很好的聚焦在探測器上。探測器屬性設(shè)置為吸收，像素數(shù)量為120x120。
需要注意的是，探測器的第11個參數(shù)“ PSF 波長模式（PSF Wave#）”設(shè)為1。
這一設(shè)置可以讓探測器計算相干惠更斯 PSF 的積分。每一根射到探測器上的光線都被轉(zhuǎn)換為局部平面波，該平面波照射探測器上的所有像素。隨后平面波在每一像素上的相干振幅，疊加到已探測的相干振幅上。這允許我們可根據(jù)需求每次只追跡一條光線，所以我們可以看到每一根單獨(dú)光線的疊加效果。
每次積分一根光線
接下來讓我們通過示例觀察這一積分過程，打開示例文件HPSF_Integration，選擇分析選項卡（ Analysis ）- 光線追跡（Trace Rays ）- 光線追跡控制（ Ray Trace Control ）。選中自動更新（ Auto Update ）。點(diǎn)擊“追跡（ Trace ）”。由于光源只定義了一根分析光線，因此一根隨機(jī)的光線被追擊并且探測器更新當(dāng)前結(jié)果。再次點(diǎn)擊“追跡”，但注意不先點(diǎn)擊“清空探測器（ Clear Detectors ）”來追擊第二根光線。此時兩根光線的追跡結(jié)果將顯示出兩個傳播方向有一定夾角的平面波的干涉結(jié)果，探測器將顯示條紋圖案。由于光線的選取是隨機(jī)的，因此條紋圖案每次也不相同，因此探測器結(jié)果可能與下圖并不完全相同。
每次點(diǎn)擊“追跡”后，另一根光線的結(jié)果將與現(xiàn)在的結(jié)果疊加。經(jīng)過10根光線追跡后，衍射 PSF 初步呈現(xiàn)出來。
大約40根光線追跡后，可以看到艾里環(huán)逐漸形成。
追跡數(shù)百根光線才可以使 PSF 顯示出合理的分布結(jié)果。
同時追跡多跟光線
一次只追跡一條光線是為了將積分的過程可視化。要同時追跡多條光線，可在非序列元件編輯器當(dāng)中的分析光線條數(shù)一欄中，將要分析的光源光線條數(shù)從1改為500。
點(diǎn)擊分析 >光線追跡開啟光線追跡控件，點(diǎn)擊“清除并追跡”，將同時對500條光線進(jìn)行追跡，PSF 結(jié)果將被展示在探測器查看器窗口中。
盡管追跡的光線是隨機(jī)選擇的，但 PSF 仍收斂為正確的艾里斑（該透鏡系統(tǒng)為衍射極限系統(tǒng)）。
如何選擇使用
點(diǎn)列圖、FFTPSF、惠更斯 PSF
在下面的情況中使用點(diǎn)列圖：
· 與衍射效應(yīng)相比，系統(tǒng)幾何像差對于成像質(zhì)量的影響更加顯著。這一點(diǎn)可以通過在點(diǎn)列圖的設(shè)置中勾選“顯示艾里斑”來進(jìn)行檢查。
在以下情況中選擇使用 FFT PSF:
· 像面上主光線與像面法線有一定的夾角
· 與入瞳相比，出瞳的畸變并不顯著
· 相對于無比精確的結(jié)果，更加關(guān)注計算速度
在下面的情形中使用惠更斯 PSF:
· 想最大程度獲得精確結(jié)果
總結(jié)
本文圍繞點(diǎn)列圖，F(xiàn)FT PSF 以及惠更斯 PSF 進(jìn)行了討論。結(jié)論為：
點(diǎn)列圖展示了光線像差，但并未考慮衍射效應(yīng)
FFT PSF 雖然考慮了衍射并適用于大多數(shù)的光學(xué)系統(tǒng)，但基于的算法有一定的前提假設(shè)
惠更斯 PSF 考慮了衍射，并適用于幾乎所有的光學(xué)系統(tǒng)，相比與 FFT PSF 使用了較少的前提假設(shè)
惠更斯 PSF 可用于非序列系統(tǒng)，盡管這些系統(tǒng)并非用于成像。
