概述

這篇文章介紹了OpticStudio中的近軸光線(Paraxial Rays)和傍軸光線(Parabasal Rays)，并分析了兩者在計(jì)算光線追跡時(shí)的區(qū)別。本文示例文件請(qǐng)從以下鏈接下載：

什么是近軸光線

在近軸光學(xué)中，光學(xué)追跡被限制在很小的入射角和入射高度下。這是為了使簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)計(jì)算的前提假設(shè)成立，從而使光線追跡變得非常簡(jiǎn)單。

首先第一個(gè)前提假設(shè)是關(guān)于Snell定律本身的。當(dāng)光線在兩種介質(zhì)表面發(fā)生折射時(shí)，其折射角度符合Snell定律：

其中n為介質(zhì)的折射率，q為入射角，撇號(hào)表示不同介質(zhì)中的參數(shù)。當(dāng)入射角非常小時(shí)滿(mǎn)足近似關(guān)系sin(q)=q，因此Snell定律可以簡(jiǎn)化為以下線性關(guān)系：

這一簡(jiǎn)化在計(jì)算機(jī)普及之前大大減輕計(jì)算量。光學(xué)中的許多定義都是基于這一線性假設(shè)的，這類(lèi)定義也稱(chēng)為一階光學(xué)參數(shù)。然而隨著入射角q逐漸增大，正弦函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式：

式中的三階及更高階非線性項(xiàng)帶來(lái)的影響逐漸變大，變得無(wú)法近似忽略，因而折射引入了像差。因此，光學(xué)系統(tǒng)的近軸光學(xué)屬性或者說(shuō)一階光學(xué)參數(shù)是不考慮像差的。

第二個(gè)前提假設(shè)是，當(dāng)光線在表面上的高度非常小時(shí)，我們可以近似忽略表面的曲率，并將表面假設(shè)為帶有相同光焦度的平面。光學(xué)表面的光焦度為：

其中c為表面的曲率半徑，由于我們將曲面假設(shè)為平面，因此我們無(wú)需考慮光線與表面交點(diǎn)的實(shí)際位置。

第三個(gè)前提假設(shè)是，光線入射角的正切值近似為入射角本身。這一假設(shè)的作用看起來(lái)并不明顯，但更加基礎(chǔ)。試想一根近軸光線追跡在兩個(gè)平面間追跡，如下圖所示。光線在前一個(gè)表面有一個(gè)初始入射高度Y，并且在Y和Z方向的方向余弦為(m,n)，則對(duì)正切函數(shù)進(jìn)行tan(q)=q的近軸近似后，光線在下一表面上的高度Y’可以表示為：

近軸光線的斜率(正切值)就是光線的入射角，這也是容易忽略的一點(diǎn)。

近軸光學(xué)對(duì)光線追跡的計(jì)算進(jìn)行了大量簡(jiǎn)化，但如果我們不考慮計(jì)算工具的輔助，直接使用近軸計(jì)算的結(jié)果，在一定情況下就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。這是因?yàn)榻S光學(xué)計(jì)算只限于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的球面透鏡系統(tǒng)，在計(jì)算每個(gè)面的光焦度時(shí)只計(jì)算表面頂點(diǎn)處的光焦度，并將其等效為整個(gè)表面上的光焦度。當(dāng)這些條件不成立時(shí)，我們需要使用更加通用的傍軸光線進(jìn)行計(jì)算。

什么是傍軸光線

傍軸光線是與主光線存在非常小夾角的實(shí)際光線。這些光線在計(jì)算時(shí)采用Snell定律的展開(kāi)式的全部項(xiàng)，因此它們是“真實(shí)”的。這些光線入射到實(shí)際的彎曲表面而不是等效光焦度的平面，并且在光線追跡中不使用近似計(jì)算。

傍軸光線由于不采用近似計(jì)算，因此可以更好的描述當(dāng)前系統(tǒng)在孔徑趨近于零時(shí)的成像效果。實(shí)際上，傍軸光線在計(jì)算時(shí)表面可以?xún)A斜和偏心，也可以考慮非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的系統(tǒng)、衍射表面和梯度折射率表面等等。

許多分析在計(jì)算過(guò)程中都需要近軸參考來(lái)對(duì)實(shí)際光線進(jìn)行比較。為了確保這些功能正確計(jì)算，特別是當(dāng)一階光學(xué)參數(shù)不能很好的描述系統(tǒng)的時(shí)候，OpticStudio會(huì)使用傍軸光線來(lái)計(jì)算當(dāng)前系統(tǒng)在孔徑趨近于零時(shí)的表現(xiàn)。

在實(shí)際系統(tǒng)中應(yīng)用近軸理論總會(huì)產(chǎn)生許多困擾。為了進(jìn)一步解釋?zhuān)酉聛?lái)我們將分析在實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)中，近軸光線追跡和傍軸光線追跡的不同計(jì)算結(jié)果，以及為什么傍軸光線追跡更加通用。

我們以示例文件中的real system.zmx文件為例。這是一個(gè)大數(shù)值孔徑的顯微物鏡，其成像質(zhì)量經(jīng)過(guò)優(yōu)化后接近衍射極限。最后一個(gè)表面的曲率半徑由求解類(lèi)型“邊緣光線角度”控制，本例中該求解類(lèi)型會(huì)控制邊緣光線角度為-0.5：

在詳細(xì)數(shù)據(jù)報(bào)告中，我們可以看到該系統(tǒng)的像方數(shù)值孔徑(Image Space NA)約為0.447。OpticStudio中像方數(shù)值孔徑的定義為“在主波長(zhǎng)下，像方共軛空間中軸上視場(chǎng)近軸主光線與軸上視場(chǎng)Y+方向的近軸邊緣光線的夾角的正弦乘以像空間介質(zhì)的折射率”。在本例中，像方介質(zhì)折射率為1，則像方數(shù)值孔徑應(yīng)為sin(0.5)=0.479，但OpticStudio中給出的計(jì)算結(jié)果為0.447，這是為什么呢？

回想一階光學(xué)參數(shù)是如何計(jì)算的？

前文中我們提到近軸計(jì)算的前提假設(shè)3：tan(q)=q。因此近軸光線角度實(shí)際上與光線斜率相等。請(qǐng)參考以下宏程序計(jì)算過(guò)程及其運(yùn)行結(jié)果：

在這段宏程序中，我們首先開(kāi)啟近軸光線追跡模式(紅框標(biāo)注語(yǔ)句)。然后通過(guò)追跡軸上視場(chǎng)光瞳坐標(biāo)Px,Py=(0,0)的近軸主光線，計(jì)算得到光線的斜率和角度；同理追跡軸上視場(chǎng)光瞳坐標(biāo)為(0,1)的近軸邊緣光線，并計(jì)算得到光線的斜率和角度。最后根據(jù)定義計(jì)算得到像方數(shù)值孔徑值。運(yùn)行宏程序后結(jié)果如下圖所示：

首先我們可以看到，由于本例中邊緣光線角度很大，導(dǎo)致近軸邊緣光線的斜率和角度相差較多，不滿(mǎn)足近似相等的假設(shè)。然而OpticStudio進(jìn)行像方數(shù)值孔徑計(jì)算是根據(jù)該近軸光線角度進(jìn)行的，這也是詳細(xì)數(shù)據(jù)報(bào)告中所使用的計(jì)算方法。然而實(shí)際情況下，當(dāng)求解的邊緣光線角度越接近0時(shí)，近軸邊緣光線的弧度值和正切值才逐漸接近。

那么最后一個(gè)曲面曲率半徑求解的邊緣光線角度是如何定義的呢？

這種情況下OpticStudio使用傍軸光進(jìn)行計(jì)算。下圖為追跡傍軸光線的宏程序，程序中首先關(guān)閉近軸追跡模式，并追跡一根非常貼近主光線的實(shí)際光線也就是傍軸光線，然后該傍軸光線的光瞳坐標(biāo)與邊緣光瞳的比例，對(duì)傍軸光線的角度進(jìn)行縮放，最終得到傍軸邊緣光線角度。

計(jì)算結(jié)果顯示，傍軸計(jì)算得到的邊緣光線角度值與近軸計(jì)算得到的邊緣光線角度正切值相等。因此，最后一個(gè)面曲率半徑求解類(lèi)型中邊緣光線角度的實(shí)際為近軸邊緣光線角度的正切值或傍軸邊緣光線的角度(單位為弧度)。

在本例中，物鏡的實(shí)際孔徑需要根據(jù)實(shí)際邊緣光線和實(shí)際主光線進(jìn)行計(jì)算。

小結(jié)

當(dāng)使用一階光學(xué)參數(shù)時(shí)(特別是詳細(xì)報(bào)告中的數(shù)據(jù))，請(qǐng)時(shí)刻注意該一階光學(xué)參數(shù)在OpticStudio中的定義。例如像方數(shù)值孔徑這類(lèi)參數(shù)都是在近軸條件下進(jìn)行計(jì)算的，當(dāng)使用一階光學(xué)參數(shù)不能很好的描述光學(xué)系統(tǒng)時(shí)，該參數(shù)會(huì)造成很多誤解。在近軸光學(xué)的前提假設(shè)中，光線和主光線夾角很小并且光線在表面上的高度很小，這樣的話：

·Snell定律在計(jì)算式可以線性近似
·光學(xué)表面的形狀可以被忽略，并被代替為等光焦度的平面
·光線的斜率和夾角相同

這些近似是為了簡(jiǎn)化數(shù)值計(jì)算，但缺乏通用性。Parabasal光線則是傍軸的實(shí)際光線。傍軸光線同樣和主光線的夾角很小并且具有很小的光高，但在進(jìn)行追跡計(jì)算時(shí)使用完整的Snell定律。

總的來(lái)說(shuō)，近軸光線在追跡過(guò)程中計(jì)算每個(gè)表面的折射時(shí)都采用一階近似，但傍軸光線是與主光線或參考光線非常接近的實(shí)際折射光線。大多數(shù)近軸數(shù)據(jù)例如EFL、F/#以及放大率都使用近軸光線計(jì)算得到的。對(duì)于實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)而言每個(gè)表面頂點(diǎn)處的近軸光焦度有時(shí)并不能代表整個(gè)光學(xué)表面，在這種系統(tǒng)中近軸數(shù)據(jù)是不準(zhǔn)確的。OpticStudio中為許多分析功能為了適用于更多的光學(xué)系統(tǒng)，其光線追跡都是基于傍軸光線進(jìn)行的。