什么是Sobol取樣？

什么是Sobol取樣？

☆什么是Sobol取樣？

☆和隨機光線產(chǎn)生方法相比，Sobol取樣有什么優(yōu)點？

☆Sobol取樣有什么限制？

隨機取樣和Sobol取樣模式

一個光源會在位置空間以及角度空間隨機產(chǎn)生光線分布。例如，一個點光源發(fā)出起始點位置不變、某一方向余弦范圍內(nèi)均勻分布的光線。當(dāng)對該光源進行光線追跡時，必須發(fā)出足夠多根光線，才能準(zhǔn)確的描述該點光源。

光線的隨機產(chǎn)生通常使用隨機數(shù)產(chǎn)生器，隨機數(shù)產(chǎn)生器的目標(biāo)是為了制造一系列互相無關(guān)的隨機數(shù)，然后（通過生成大量隨機數(shù)）追跡大量的隨機光線就可以對光源準(zhǔn)確的取樣。

當(dāng)然，所有基于電腦的隨機數(shù)生成算法都是偽隨機的（quasi-random）。它們受限于一個周期，當(dāng)超過周期后就會重復(fù)出現(xiàn)，而不再是相互無關(guān)的隨機數(shù)。這個周期的最終限定是由電腦的位數(shù)來決定的，因此，沒有一個內(nèi)建的隨機數(shù)是“真正”隨機的。（但是本文我們認(rèn)為Zemax OpticStudio中的長周期隨機數(shù)產(chǎn)生器是“真正”的隨機，這樣就可以用來和Sobol取樣模式對比。）

Sobol 取樣使用了不同的方式來取樣。相比于隨機數(shù)，Sobol 采樣重點在于在概率空間產(chǎn)生均勻的分布。這并不是單純的使用格點取樣，從概率上來講，格點取樣也是定性隨機的，它巧妙的填補了使用之前隨機數(shù)產(chǎn)生器無法采樣到的概率空間。

本文以一個簡單的光學(xué)系統(tǒng)為例，系統(tǒng)中兩個矩形光源照亮探測器，此光源會產(chǎn)生均勻的矩形光線分布。下圖為光線追跡的結(jié)果，圖中上方為隨機取樣下方為Sobol 取樣。

圖1 光線追跡NSC 3D Layout圖

如果我們對每個光源都追跡10^4條光線，Detector Viewer結(jié)果圖如圖2所示，圖中很難看出兩者的差距。

圖2 追跡10^4條光線的Detector Viewer圖

如果將追跡光線數(shù)目增加到10^6，就可以看出兩者的差別。Sobol 取樣模式產(chǎn)生光線比隨機取樣更加均勻。當(dāng)然，Sobol 取樣的本質(zhì)依然屬于隨機分布。從圖中可以看出，隨機取樣的分布為“塊狀”，可以看到較多不均勻的亮點以及較暗的區(qū)域。

圖3 追跡10^6條光線的Detector Viewer圖

如果將隨機取樣的結(jié)果圖放大，可以看到如下圖。隨機取樣產(chǎn)生的光線分布比Sobol 取樣噪聲大。

圖4 追跡10^6條光線的Detector Viewer放大圖

信噪比

下圖分別為追跡10^6、10^7、10^8、10^9光線時隨機取樣和Sobol 取樣信噪比對比圖。

圖5 追跡10^6、10^7、10^8、10^9光線時隨機取樣和Sobol 取樣信噪比對比圖

從圖中可以看出。當(dāng)我們追跡光線非常少（1萬）或者非常大（10億）時，Sobol 取樣和隨機取樣的結(jié)果非常相似。因此Sobol 取樣主要是在一些“特殊區(qū)域”有效。隨機取樣光線追跡的信噪比為sqrt(N)，其中N為擊中每個像素的平均光線數(shù)；而對于Sobol 取樣模式，信噪比和N成線性關(guān)系。這可以從10億條光線追跡圖的Cross-Section中理解。

圖6 追跡10^9條光線圖的Cross-Section圖

Sobol 取樣并不是萬能的，在本文范例中我們已經(jīng)知道了光源應(yīng)該是均勻分布的，因此可以確定Sobol 取樣優(yōu)于隨機取樣。但是請注意在所有的Monte Carlo分析過程中沒有一種方法比隨機取樣更準(zhǔn)確。因此，Zemax OpticStudio允許使用著自己決定是使用Sobol 取樣還是使用Zemax OpticStudio內(nèi)置的長周期隨機數(shù)產(chǎn)生器。使用者可以在對象屬性編輯窗中的Source欄下選擇。

總結(jié)

在進行蒙特卡羅追光模擬時，Sobol 取樣可以減少模擬時間。一般來說，Sobol 取樣比隨機數(shù)產(chǎn)生器產(chǎn)生的光線更快收斂。