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Ansys Zemax｜什么是點擴散函數(shù)（ PSF ）

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概覽

這篇文章講述了：

1.什么是點擴散函數(shù)？

2.點列圖

3.快速傅里葉變換計算的點擴散函數(shù)（FFT PSF）

4.惠更斯算法計算的點擴散函數(shù)（Huygens PSF）

5.如何使用非序列模式下的透鏡和探測器觀察惠更斯積分

6.對于序列模式下的透鏡組，分析點擴散函數(shù)時如何在惠更斯和快速傅里葉變換計算兩者間進行選擇

什么是點擴散函數(shù)（ PSF ）？

PSF 是一個物空間的點光源經過光學系統(tǒng)后的輻射照度分布。望遠鏡對遙遠行星成像就是一個很好的 PSF 例子：由于行星距離我們非常遠以至于我們在任何條件下都可以把它當做一個點。雖然發(fā)光光源是一個理想的點，但是像點并不是一個點。這是因為兩個主要原因：首先，光學系統(tǒng)的像差會影響像點，使其在有限的區(qū)域內擴散；其次，即使光學系統(tǒng)沒有像差，衍射效應同樣會使像點發(fā)生擴散。

OpticStudio 內置了三種計算 PSF 的方法：幾何（無衍射效應）點列圖、基于衍射效應的快速傅里葉變換（ FFT ）PSF 和惠更斯（ Huygens ）PSF 。這篇文章將討論每種算法的理論基礎，并給出了一些使用建議。

點列圖：幾何 PSF

點列圖是 OpticStudio 中最基礎的分析功能之一。該功能會加載多條從物空間點光源發(fā)出的光線，并對所有光線穿過光學系統(tǒng)進行追跡，然后將以圖表的形式顯示光線相對于特定參考點的坐標圖。

本文中使用的示例系統(tǒng)是一個焦距為50mm、F 數(shù)為5的拋物面反射鏡。物體放置于無窮遠處。這是一個簡單的牛頓望遠鏡系統(tǒng)，示例文件名為PSF_Newtonian.ZMX 。光學系統(tǒng)如下所示：

兩個視場下的點列圖如下所示，其中一個視場為軸上視場，另一個為2°的離軸視場：

如圖可見，點列圖是一堆點的集合，其中每一個點代表一根光線。每根光線間沒有任何相互作用。點列圖非常高效的展示了望遠鏡系統(tǒng)的幾何效應或光線像差。其中，離軸幾何 PSF 圖像（2°視場下點列圖）非常形象的展示了系統(tǒng)的慧差和像散。然而對于軸上視場，點列圖給出了完美像點的分析結果。這是光學系統(tǒng)成像的正確結果嗎？為了回答這一問題，我們需要將點列圖的結果即點的分布，與衍射極限相比較。

將艾里斑（ Airy Disk ）的參考橢圓添加到點列圖中是一個快速比對幾何像差和衍射效應的方法。打開點列圖的設置列表，并勾選顯示艾里斑：

現(xiàn)在，點列圖將在幾何點分布上的相應位置處，顯示出艾里斑的直徑：

在軸上視場上點的分布遠小于艾里斑，而在離軸視場上點的分布則遠大于艾里斑。這表明點列圖只能有效合理的展示離軸視場的成像結果。想要同時計算軸上和離軸視場正確的 PSF，則需要考慮衍射效應帶來的影響。

通常來說，當光學系統(tǒng)的像差影響相比衍射效應大很多時，點列圖是評價光學系統(tǒng)成像質量非常有效的方法。

FFT PSF

快速傅里葉變換（ FFT ）算法廣泛應用于許多光電系統(tǒng)的頻率分析中。從概念上講，F(xiàn)FT 將一個空間上的分布分解為頻域上的分布。對于傅里葉光學的詳細講解請參考書籍《 Introduction to Fourier optics 》，在用戶手冊的“物理光學傳播（ Physical Optics Propagation ）”一章中也有對衍射理論的總結。兩份資料都介紹了菲涅爾和夫瑯禾費衍射理論。

大多數(shù)光學系統(tǒng)都滿足基于夫瑯禾費衍射理論的 FFT PSF 算法所必須的簡化假設。其主要假設有：

1.F 數(shù)足夠大使得標量衍射理論成立

2.衍射 PSF 能量顯著區(qū)域遠小于光學系統(tǒng)出瞳到像面的距離

3.出瞳相對入瞳沒有明顯畸變。這表示入瞳上均勻分布的光線在出瞳上也應是合理的均勻分布

4.高采樣率以滿足準確模擬 PSF 的要求

5.像面上的主光線和法線夾角很小

光學系統(tǒng)的 FFT PSF 是通過如下方法計算所得：一組呈網格狀分布的光線從點光源發(fā)出射向系統(tǒng)出瞳。OpticStudio 會使用幅值和光程差計算每一根光線出瞳處波前網格上對應點的復振幅。經過適當縮放后該網格的快速傅里葉變換經過平方得到 PSF 的實部值。如果計算是多波長的，則 PSF 將進行累加。想要計算序列模式系統(tǒng)的 FFT PSF，請在 OpticStudio 的主菜單中選擇分析選項卡（Analysis）>點擴散函數(shù)（PSF）> FFT PSF 。示例文件牛頓望遠鏡系統(tǒng)的軸上視場的 FFT PSF，如下圖所示，其分析設置參數(shù)稍后我們會做討論。

注意圖中相似的艾里斑波形。牛頓望遠系統(tǒng)的軸上視場像差為零，如上圖所示這也是符合預期的結果。

為了生成如上圖所示的圖像，F(xiàn)FT PST 的設置菜單應該如下圖所示：

這里的采樣是指對射向系統(tǒng)入瞳處的網格分布光線的采樣率。OpticStudio 會自動設置顯示網格的尺寸比采樣網格大一倍，并將超出入瞳區(qū)域的數(shù)據(jù)用零代替。因此 PSF 的分析結果顯示的點要比網格采樣點多4倍。如果系統(tǒng)像差很小，則我們感興趣的區(qū)域將集中在圖表的中心。為了減少顯示這些近似等于零的數(shù)據(jù)，我們選擇顯示網格為較小的尺寸。

在分析參數(shù)設置中可以使用多種網格尺寸來顯示同樣的 PSF 數(shù)據(jù)，可以設置如下圖所示參數(shù)：

顯示網格的尺寸為128x128，視場編號為2，類型為對數(shù)，顯示為偽彩色圖。其分析結果如下圖所示：

惠更斯 PSF

從概念上講，惠更斯 PSF 通過將點列圖上每一根光線轉換為一個小的平面波?；叵胍幌?，光線可以模擬一個小區(qū)域的平面波，因此光線在各向同性介質中與波前垂直。由光線模擬的平面波擁有振幅、相位和傳播方向這三個參數(shù)。因此像面上的總輻照度分布可以考慮為所有追跡光線所代表的平面波的相干疊加。對所有光線的積分可以直接得到衍射 PSF。

OpticStudio 中大多數(shù)衍射效應是基于標量衍射理論的（ F 數(shù)不會很?。莞顾惴ㄔ凇笆褂闷瘢?Use Polarization ）”開啟時可以考慮電場的矢量特性。所有基于惠更斯算法的分析都全面考慮了偏振向量和偏振相位引入的像差。這一算法通過分別計算偏振電場的 Ex,Ey,Ez 分量，然后進行非相干疊加。和計算其他相位差一樣，惠更斯算法會計算電場中每一個正交分量引入的偏振相位差。

實際上所有光學系統(tǒng)都滿足進行惠更斯 PSF 計算的前提假設：

采樣率足夠高以準確模擬 PSF

惠更斯 PSF 不是基于 FFT 進行計算的。雖然計算速度方面惠更斯 PSF 通常要比 FFT PSF 慢，但是在不滿足 FFT PSF 前提假設的情況下惠更斯PSF要更加準確。使用 FFT PSF 假設有問題從而需要使用惠更斯 PSF 的情況有：

1.像面與主光線的垂直面存在明顯傾斜

2.出瞳相對于入瞳存在明顯的畸變

光學系統(tǒng)的惠更斯 PSF 的計算如下。從點光源出發(fā)追跡網格分布的光線并傳播到像面。使用光線的振幅、坐標、方向余弦和光程差，計算每根光線在像空間網格上每點處的平面波的復振幅。將像空間每個網格點上所有光線的復振幅相干疊加。則像空間每個網格點上的強度為疊加復振幅的平方。如果計算中考慮多個波長，則對不同波長的 PSF 結果進行非相干疊加。

如果您想要計算序列模式下系統(tǒng)的惠更斯 PSF，在 OpticStudio 主菜單中選擇分析選項卡（ Analysis ）> PSF > 惠更斯 PSF（ Huygens PSF ）。惠更斯 PSF 同樣可以計算非序列元件（NSC）系統(tǒng)，我們將在后文中詳細介紹。需要注意的是 FFT PSF 不能應用于非序列系統(tǒng)。

由用戶定義的惠更斯 PSF 的關鍵設置參數(shù)是光瞳采樣、像面采樣和像面采樣間距。這些參數(shù)可以在惠更斯 PSF 分析參數(shù)設置表中輸入。打開參數(shù)設置表并如下圖輸入參數(shù)：

像面采樣間距為像面上每個網格點之間的距離，其單位為毫米。計算PSF 的總體區(qū)域的尺寸是像面采樣和像面采樣間距之積。

如下圖所示為示例牛頓望遠鏡系統(tǒng)軸上視場的惠更斯 PSF：

離軸視場如下圖所示（將視場編號改為2）：

光線數(shù)量和像點越多，PSF 的分辨率和計算精度越高。但這會帶來計算時間的增加。

惠更斯 PSF

觀察積分過程的一種方法是一次觀察一根光線的相干疊加結果。這可以通過在 OpticStudio 的非序列元件功能中設置相干探測器來完成。示例文件為HPSF_Integration.ZMX。

該示例文件包括一個橢圓光源、一個單透鏡和一個矩形探測器物體。光源在一個圓形區(qū)域內產生多條隨機光線。所有光線沿 Z 軸平行出射。光源模擬一束準直光或無窮遠的點光源。光線輸出條數(shù)設為20，分析光線的條數(shù)設為1。這將使系統(tǒng)在同一時刻只分析一條光線，我們會在后文中詳細討論。透鏡為一個簡單的單透鏡，它用來將平行光很好的聚焦在探測器上。探測器屬性設置為吸收，像素數(shù)量為120x120。

需要注意的是，探測器的第11個參數(shù)“ PSF 波長模式（PSF Wave#）”設為1。

這一設置可以讓探測器計算相干惠更斯 PSF 的積分。每一根射到探測器上的光線都被轉換為局部平面波，該平面波照射探測器上的所有像素。隨后平面波在每一像素上的相干振幅，疊加到已探測的相干振幅上。這允許我們可根據(jù)需求每次只追跡一條光線，所以我們可以看到每一根單獨光線的疊加效果。

每次積分一根光線

接下來讓我們通過示例觀察這一積分過程，打開示例文件HPSF_Integration，選擇分析選項卡（ Analysis ）- 光線追跡（Trace Rays ）- 光線追跡控制（ Ray Trace Control ）。選中自動更新（ Auto Update ）。點擊“追跡（ Trace ）”。由于光源只定義了一根分析光線，因此一根隨機的光線被追擊并且探測器更新當前結果。再次點擊“追跡”，但注意不先點擊“清空探測器（ Clear Detectors ）”來追擊第二根光線。此時兩根光線的追跡結果將顯示出兩個傳播方向有一定夾角的平面波的干涉結果，探測器將顯示條紋圖案。由于光線的選取是隨機的，因此條紋圖案每次也不相同，因此探測器結果可能與下圖并不完全相同。