概述

這篇文章介紹了OpticStudio如何計(jì)算材料在任意輸入波長(zhǎng)、環(huán)境溫度和壓強(qiáng)下的折射率。

介紹

通常情況下有兩種參考折射率的測(cè)量方法：絕對(duì)測(cè)量和相對(duì)測(cè)量。其中絕對(duì)測(cè)量以真空為參考介質(zhì)；相對(duì)測(cè)量則是以空氣（攝氏溫度20°，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）為參考介質(zhì)。除了折射率以外，光的波長(zhǎng)也是在特定介質(zhì)中測(cè)量的，光在不同介質(zhì)中的波長(zhǎng)存在微小差別，例如氦氖激光器產(chǎn)生的紅光在真空中的波長(zhǎng)為0.632991μm，而在空氣中的波長(zhǎng)為0.632816μm。

在OpticStudio中，您可以對(duì)每個(gè)光學(xué)系統(tǒng)定義“系統(tǒng)”溫度和壓強(qiáng)，該設(shè)置位于系統(tǒng)設(shè)置 (System Explorer) 中的環(huán)境 (Environment) 的下拉菜單中：

在設(shè)置時(shí)您需要注意以下兩點(diǎn)：

·系統(tǒng)波長(zhǎng)總是在系統(tǒng)設(shè)置定義的溫度和壓強(qiáng)下進(jìn)行定義的。因此如果將壓強(qiáng)定義為0，則波長(zhǎng)為真空下的波長(zhǎng)；如果將壓強(qiáng)定義為1，則波長(zhǎng)為空氣中的波長(zhǎng)。

·當(dāng)數(shù)據(jù)編輯器中材料 (Materials) 一欄為空時(shí)，系統(tǒng)將默認(rèn)該表面為“空氣”，并且“空氣”介質(zhì)在所有波長(zhǎng)下的折射率均為1。

我們將“空氣”用引號(hào)標(biāo)注是因?yàn)樗鼘?shí)際上是系統(tǒng)設(shè)置定義的溫度和壓強(qiáng)下的“空氣”。如果在系統(tǒng)設(shè)置中設(shè)置壓強(qiáng)為0，則“空氣”表示真空介質(zhì)。在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的表面溫度和壓強(qiáng)可以與系統(tǒng)設(shè)置中的不同，并且該設(shè)置沒(méi)有限制。

在OpticStudio中的大多數(shù)透鏡設(shè)計(jì)所使用的材料已包含在材料庫(kù)中（例如N-BK7包含在SCHOTT.AGF材料庫(kù)文件中）。材料在任意波長(zhǎng)下的折射率可由相應(yīng)的色散公式和色散系數(shù)計(jì)算得到。然而通過(guò)色散公式計(jì)算的折射率只是參考溫度 (T0) 和參考?jí)簭?qiáng) (P0=1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓) 時(shí)的情況。那OpticStudio是如何計(jì)算材料在不同溫度和壓強(qiáng)下的折射率呢？

折射率計(jì)算公式

任意溫度或壓強(qiáng)下的折射率與參考溫度和壓強(qiáng)下的絕對(duì)（參考與真空介質(zhì)）空氣折射率相關(guān)。需要再次強(qiáng)調(diào)的是，OpticStudio中空氣下的折射率在系統(tǒng)溫度 (TS) 和系統(tǒng)壓強(qiáng) (PS) 下永遠(yuǎn)為1。下式給出了如何計(jì)算系統(tǒng)溫度和壓強(qiáng) (TS, PS) 下或參考溫度和壓強(qiáng) (T0, P0) 下空氣的絕對(duì)折射率：

其中

公式中λ表示輸入光的波長(zhǎng)（系統(tǒng)溫度和壓強(qiáng)下），P為壓強(qiáng)（以標(biāo)準(zhǔn)大氣壓為單位），T為溫度（攝氏度）。有關(guān)該公式的更多信息請(qǐng)查閱幫助系統(tǒng)“Index of Refraction Computation”標(biāo)簽。

如果要計(jì)算任意溫度和壓強(qiáng)的折射率，則我們將首先計(jì)算nair(P0, T0)以及nair(PS, TS)。這些參數(shù)都是在輸入波長(zhǎng)下進(jìn)行計(jì)算的。首先，我們通過(guò)對(duì)參考溫度和壓強(qiáng)進(jìn)行縮放得到“相對(duì)”波長(zhǎng)：

在參考溫度和壓強(qiáng)下的相對(duì)折射率由對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)下的色散公式計(jì)算得到：

其中f為色散公式的函數(shù)形式，c0表示材料的色散系數(shù)。相對(duì)折射率與絕對(duì)折射率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

由于相對(duì)折射率是在參考溫度和壓強(qiáng)下進(jìn)行計(jì)算的，因此計(jì)算絕對(duì)折射率需要在同樣的溫度和壓強(qiáng)下。絕對(duì)折射率由下式計(jì)算得出：

其中Δnabs由下式計(jì)算得到：

在上式中，n為材料在參考溫度和壓強(qiáng)下的折射率，ΔT為材料溫度與參考溫度的差值，λ為波長(zhǎng)（上文中計(jì)算的λrel），D0和D1等為材料的熱擾動(dòng)系數(shù)。最終，在給定的溫度和壓強(qiáng)下，材料的相對(duì)折射率由下式計(jì)算得到：

在光線追跡計(jì)算中，OpticStudio就是使用上式的計(jì)算結(jié)果作為材料的折射率進(jìn)行計(jì)算的。

計(jì)算示例

根據(jù)上一節(jié)中給出的計(jì)算公式，當(dāng)系統(tǒng)溫度和壓強(qiáng)與參考溫度和壓強(qiáng)相等時(shí)，材料的系統(tǒng)折射率和參考折射率相同即nabs(PS, TS)=nrel(PS, TS)且此時(shí)的Δnabs=0，因此可以得到：

現(xiàn)在讓我們了解一下稍微復(fù)雜的情況。假設(shè)我們?cè)O(shè)置N-BK7材料所處的系統(tǒng)溫度為30°，壓強(qiáng)為2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，并設(shè)置此時(shí)系統(tǒng)輸入波長(zhǎng)為0.55μm。其中，N-BK7材料的參考溫度為20攝氏度，您可以在Schott的材料庫(kù)中查詢?cè)摂?shù)據(jù)：

對(duì)于T0=20°，P0=1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的情況，空氣的折射率為nair(P0, T0)=1.00027308。對(duì)于其他給定的系統(tǒng)溫度（30°）和壓強(qiáng)（2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓），空氣的折射率為nair(PS, TS)=1.00052810（這是空氣的絕對(duì)折射率）。根據(jù)這兩個(gè)結(jié)果，我們可以計(jì)算得到相對(duì)波長(zhǎng)（溫度為20°，壓強(qiáng)為1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的波長(zhǎng)）為0.55014022μm。

在該波長(zhǎng)下，N-BK7材料在參考溫度和壓強(qiáng)下的相對(duì)折射率為1.51851533（根據(jù)Sellmeier色散公式及材料庫(kù)數(shù)據(jù)中的色散系數(shù)計(jì)算得到）。N-BK7材料在T0和P0下的絕對(duì)折射率由該折射率與nair(P0, T0)相乘得到，其結(jié)果為1.51893001。

絕對(duì)折射率的變化是由于OpticStudio計(jì)算熱擾動(dòng)模型（如上節(jié)所述）時(shí)材料溫度和參考溫度不同所引起的，其中該模型使用了材料數(shù)據(jù)庫(kù)中提供的熱擾動(dòng)系數(shù)（D0, D1…）。在本例中，絕對(duì)折射率的變化為Δnabs=0.00001547。因此在材料溫度和壓強(qiáng)下的絕對(duì)折射率為1.51893001+0.00001547=1.51894548。將該結(jié)果除以nair(PS, TS)得到給定溫度T和壓強(qiáng)P下的相對(duì)折射率，其結(jié)果為1.51814375。

這一最終結(jié)果與OpticStudio中使用的折射率數(shù)值完全一致，您可以查看詳細(xì)數(shù)據(jù) (Prescription Report) 的報(bào)告進(jìn)行驗(yàn)證：