ZEMAX | 詳解公差分析中的Root Sum Square (RSS)

詳解公差分析中的 Root Sum Square (RSS)

簡介

在所有公差單獨計算之后，OpticStudio 可以計算各種不同的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，其中最重要的就是 "估算改變量 (Estimated Change)" 以及 “預估性能改變量 (Estimated Performance)” (本范例中為 Estimated RMS Wavefront)。OpticStudio 使用平方和的根(RSS , Root Sum Square) 方法來計算品質(zhì)的估算改變量 (Estimated Change)。對于每個公差項，首先計算相對于名義值的性能改變量的平方，然后計算最小和最大公差值的平均值。最大與最小值之所以取平均是因為它們不可能同時發(fā)生，如果相加的話會導致過分悲觀的預測。

堆疊問題

我們將用公差統(tǒng)計中的堆疊問題 (Stack Up) 說明 RSS 的計算。

問題的描述是這樣的：

想象我們有 5 個木板要疊在一起，并需要估計疊在一起的總厚度。已知每一片木板的厚度都有些許不同 (現(xiàn)實世界總是會有誤差！)，每片木板的厚度大約在25 mm±0.1 mm的范圍內(nèi)隨機分布。假設這些木板的厚度幾率是正態(tài)分布，中心是 25 mm，幾率最大，25.1 mm跟24.9 mm的幾率則是 e^-2，剛好是距離中心兩倍標準差 (sigma) 的位置，畫出來如下圖。

現(xiàn)在問題是，如果我們疊了5塊木板以后，厚度的幾率分布會變成怎樣？

答案是125 mm±0.224 mm。并且也會是正態(tài)分布。以125作為中心，125.224與124.776的位置發(fā)生幾率恰好是e^-2。

換句話說，整個系統(tǒng)的總厚度：

1. 也是正態(tài)分布。

2. 正態(tài)分布中心剛好是每塊木板的各自幾率分布的中心的總合：5+5+5+5+5=125。

3. 整個系統(tǒng)正態(tài)分布幾率為 e^-2 的地方，會是每塊木板各自正態(tài)分布為 e^-2 時的偏差值 (deviation) 各自平方后、再加和、再開根號，也就是所謂的平方和的根 ( RSS, Root Sum Square)，你可以在Excel中輸入這右邊這串計算來驗證：sqrt(0.1^2+0.1^2+0.1^2+0.1^2+0.1^2)。答案正是 0.224。

詳細的證明可以參考 Wiki 的說明：

https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_normally_distributed_random_variables

解讀與假設

看到這里就能理解，平方和的根的偏差 (RSS Deviation) 代表的是整個系統(tǒng)最終落在這個范圍內(nèi)的幾率是95.4%。以前面的例子來說，最終五片木板的厚度落在正負 0.224 范圍內(nèi)的幾率是 95.4%。

必須注意的是，這樣的估計方式有兩個重要假設：

1. 每個變量的影響都是正態(tài)分布。例如前面例子中每個木板的厚度都是正態(tài)分布，其標準差是 0.05。(注意前面說的正負0.1是標準差的兩倍，也就是 2 sigma)

2. 變量之間的關系是互相獨立的。

每一片木板的厚度變化對整體厚度的影響不會受到其他木板的影響。木板 a 偏差+0.03，不論木板 b 偏差是 -0.07 還是 0.01或其他數(shù)字，木板 a 對整體系統(tǒng)的影響就是+0.03，不會受到其他變數(shù)大小影響。

回到光學系統(tǒng)公差分析

綜上，回到我們的 OpticStudio 公差分析。

在看估算改變量 (Estimated Change) 時，我們應該說，如果各個公差都符合正態(tài)分布與變量互相獨立的假設，則代表統(tǒng)計上最終會有95.4%的系統(tǒng)，他們距離標稱值，或說原始設計值 (Nomial) 的偏差 (Criterion) 都小于估算改變量 (Estimated Change)。

而對于預估性能改變量 (Estimated Performance ) (可能是 RMS Spot Size 或其他你設定的值)，我們則可以說，95.4%以上的系統(tǒng)，他們的效能都會比這個數(shù)值還要 “好”。這就是為什么我們說蒙特卡羅 (Monte Carlo) 分析時，很少系統(tǒng)會比這個數(shù)值還差，并且可以把 RSS Performance 當作最差系統(tǒng)的原因。