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單光子雪崩探測器 （SPAD） 偏置于擊穿上方，由于倍增增益非常高，即使在檢測到單個光子時也會產(chǎn)生較大的雪崩電流。然而，由于半導體中可以通過熱生成形成電子-空穴對，即使沒有任何光子存在，即在黑暗條件下，也會觸發(fā)雪崩。描述這種現(xiàn)象的指標通常稱為暗計數(shù)率，有時也稱為暗噪聲。它表示每秒暗雪崩的數(shù)量。此示例演示了如何模擬Si SPAD中的暗計數(shù)率。我們還展示了針對專有 Si SPAD 器件的暗計數(shù)率測量的基準測試。

概述

本例中DCR的計算包括兩個主要步驟：使用Ansys Lumerical CHARGE模擬電場和熱生成速率，然后在Ansys Lumerical腳本中計算雪崩觸發(fā)概率和暗計數(shù)率。如上圖所示。

運行和結果部分中模擬的 2D SPAD 設備表示用于說明模擬工作流的示例設備。要查看針對實際測量設備的基準仿真結果，請轉到附錄。此示例需要版本 2023 R2.1 或更高版本才能運行。

第 1 步：模擬電場和暗發(fā)生率

此步驟是使用Ansys Lumerical CHARGE進行的給定了摻雜曲線、材料和幾何形狀的典型半導體器件仿真。該步驟尚不支持 3D模擬，因此仿真以 2D 形式進行，仿真時需要關閉沖擊電離模型，器件偏置掃描至擊穿電壓以上。關閉沖擊電離模型是因為在后續(xù)的步驟2中我們會使用雪崩觸發(fā)概率 （ATP） 模型，這會使仿真變得簡單直接（沖擊電離模型的典型 CHARGE 方程出現(xiàn)收斂問題的概率非常低）。

第 2 步：計算雪崩觸發(fā)概率和暗計數(shù)率

雪崩觸發(fā)概率 （ATP） 是一個介于 0 和 1 之間的無單位數(shù)字，表示在 Si SPAD 內部某個位置產(chǎn)生的單個電子-空穴對將導致自我維持雪崩的概率。可以使用lumerical腳本命令中的atp指令，基于步驟1中Si SPAD的Ansys Lumerical CHARGE仿真得到的輸入電場和溫度，計算出每一條電場場對應的ATP。我們通過在一束場線上運行 atp 命令來獲得 2D ATP。目前，腳本無法以 3D 形式計算 ATP。有關如何計算非硅材料的 ATP 的更多信息，請參閱“進一步應用模型”部分。

暗計數(shù)率 （DCR） 是衡量在黑暗條件下每秒觸發(fā) SPAD 事件數(shù)的指標（即由于 SPAD 內部的熱過程）。這是從熱生成速率（即每秒在每個位置產(chǎn)生的電子-空穴對數(shù)）和ATP（即在某個位置產(chǎn)生的單個電子-空穴對導致自持雪崩的概率）得出的綜合量?？紤]的熱生成速率是陷阱輔助SRH復合和帶間隧穿（BBT），它們是DCR的最主要來源。在此示例中，我們根據(jù)步驟1和2D ATP的熱生成率結果，在Ansys Lumerical腳本中計算DCR,作為后處理。

運行和結果

第 1 步：模擬電場和暗發(fā)生率

打開并運行 CHARGE 項目文件 spad_charge_project.ldev。這將運行SPAD設備的2D CHARGE仿真，如下圖所示（分別為網(wǎng)格上的CAD模型和摻雜曲線）。

電壓范圍足夠高，以確保高于擊穿范圍。必須關閉乘法區(qū)域材料（此處為 Si）中的沖擊電離模型。這確保了在步驟 2 中模擬 ATP 計算的正確電場。步驟 1 的主要結果是 2D 電場（如下圖左圖所示）和熱復合率（如下圖右圖所示）為 -30 V 偏置時的凈復合 （SRH + BBT）。在這種偏差下，凈重組以 BBT 為主，而 BBT 則在最大領域占主導地位，如下圖所示。

第 2 步：計算雪崩觸發(fā)概率 （ATP） 和暗計數(shù)率 （DCR）

當文件 spad_charge_project.ldev 仍處于打開狀態(tài)時，打開并運行腳本文件 calculate_atp_2d.lsf。確保文件 calculate_atp_2d_helper.lsf 位于同一文件夾中，因為它包含一些在calculate_stp_2d.lsf腳本里需要用到的函數(shù)。

在此步驟中，我們將從步驟 1 的 CHARGE 仿真中提取電場以及 SRH 和 BBT 復合速率，并使用它們來計算 2D ATP 和 DCR。2D ATP 的計算基于 Lumerical 內置腳本命令 atp，該命令沿一條電場線計算 ATP。隨后，通過對 2D ATP 和熱生成速率（負復合）的乘積進行積分，我們計算出 DCR 與電壓的函數(shù)關系。

下圖顯示了三種不同電壓（-21 V、-25 V、-30 V）下的二維 ATP，其中擊穿電壓約為 -20 V。在這些圖中，最小值為 0，最大值為 1。

下圖顯示了-30 V（從左到右）時的SRH和BBT復合率，以及DCR與電壓的關系圖。DCR 圖顯示了 SRH 和 BBT 復合速率的獨立貢獻，其中當頻帶間隧穿勢壘變得足夠小時，BBT 貢獻在更高的過電壓下開始占主導地位。

此示例中模擬的 2D SPAD 設備表示用于說明仿真工作流的示例設備。

重要模型設置

摻雜曲線

了解確切的摻雜曲線對于模擬雪崩觸發(fā)概率計算所需的準確電場曲線非常重要。在附錄中所示的基準示例中，我們使用 CHARGE 中的功能來導入用戶定義的摻雜曲線。其他選擇是使用CHARGE中的分析摻雜曲線模型之一，例如常數(shù)摻雜、擴散摻雜或植入摻雜。

熱復合模型

在黑暗條件下觸發(fā)SPAD是由于載流子的熱產(chǎn)生。最重要的熱復合機制是具有陷阱輔助隧穿和帶間隧穿 （BBT） 的 SRH。SRH復合通常在較低的過電壓（高于擊穿）下占主導地位，而BBT復合通常在較高的過電壓下占主導地位，當電場變得足夠高以降低隧穿勢壘時。

這兩個模型可以在材料屬性的“重組”選項卡中啟用。當分別使用 Klaassen 和 Hurkx 模型來計算 SRH 復合模型的摻雜劑和場依賴性時，我們發(fā)現(xiàn)與 Si SPAD 的測量結果非常吻合，而 Hurkx 模型則用于 BBT 重組模型。有關 Klaassen 和 Hurkx 模型中的合理參數(shù)，請查看 CHARGE 項目文件。

SRH重組模型中的載流子壽命

在此示例中，載波壽命（材料屬性中的 taun 和 taup）設置為合理的值。它們應被視為常數(shù)，其值對應于 300 K。摻雜劑依賴性 Klaassen 模型中已經(jīng)包含了溫度依賴性。我們建議將此參數(shù)視為固定參數(shù)，而不是擬合陷阱能級，但如果需要改進與測量值的擬合，可以將其視為擬合參數(shù)。

SRH復合模型中的陷阱能級

該參數(shù)（材料屬性中的 Ei 偏移量）是一個擬合參數(shù)，用于獲得與測量值的良好匹配。用戶可以使用此示例中此參數(shù)的值作為合理的起點。

帶間隧穿重組模型中的預因子

該參數(shù)（Hurkx BBT 模型中指數(shù)前面的前因子）是一個擬合參數(shù)，用于獲得與測量值的良好匹配。用戶可以使用此示例中此參數(shù)的值作為合理的起點。

步驟 2 腳本中的計算控制參數(shù)

這些參數(shù)用于指定步驟 2 中 2D ATP 和 DCR 計算的重要輸入，例如計算域、電壓范圍、乘法區(qū)域中的材料名稱（應與 ldev 文件中對象樹中的名稱匹配）等。用戶應仔細調整這些參數(shù)以用于自己的Si SPAD設備。

進一步應用模型

非硅材料

在此示例中，重點是 Si SPAD 器件，并針對 Si 調整了復合速率模型的所有材料參數(shù)。

此外，Lumerical 內置腳本命令 atp 有兩個接口，一個適用于硅，一個適用于非硅材料。

在第一個界面中，用戶必須指定沿一條電場線的電場和溫度。在本例中，我們使用適合 Si 的沖擊電離模型，根據(jù)提供的電場和溫度計算沖擊電離系數(shù)。該模型在 1975 年定義的，Okuto，半導體結中雪崩擊穿電壓的閾值能量效應。同一參考也提供了 Ge 的參數(shù)。

在第二個ATP接口中，用戶可以直接提供沿一條電場線計算的沖擊電離系數(shù)，而不是提供電場和溫度。這樣，任何任意沖擊電離模型都可以由用戶在腳本中實現(xiàn)，并作為 atp 的輸入提供。

3D ATP模型

目前，步驟 2 中的腳本在二維空間中計算雪崩觸發(fā)概率。因此，電場的CHARGE模擬也是在步驟1中以2D方式完成的。啟用 3D ATP 需要對步驟 2 中的兩個腳本進行重要的修改。如果用戶需要 3D 并且無法進行所需的修改，可以尋求技術支持。

附錄

模擬 DCR 與測量 DCR 的比較

為了對我們的仿真結果進行基準測試，我們與TRIUMF 的探測器設計研究小組合作。他們與合作伙伴合作，在專有的Si SPAD器件上進行了DCR測量。通過將專有設備的摻雜曲線導入CHARGE并遵循本例中概述的仿真工作流程，我們能夠獲得與測量結果的良好匹配，如下圖所示：